Beispiel zur mitwirkenden Breite bei Plattenbalken aus BSH und BSP

Der Plattenbalken des nachfolgend dargestellten Berechnungsbeispiels besteht aus einem BSH-Träger mit den Abmessungen 160 x 480 mm und einer 5-schichtigen BSP-Platte mit konstanter Schichtdicke von 30 mm (h_BSP = 150 mm). Der Rippenabstand beträgt 1,45 m. Das statische System ist ein Einfeldträger mit der Länge L = 10 m. Als Material wird GL24h für den BSH-Träger und GL24h* für die BSP-Platte verwendet. Der Plattenbalken wird durch das Eigengewicht g_1,k, die ständigen Last g_2,k = 2,0 kN/m² und eine Nutzlast q_k = 3,0 kN/m² belastet.

Materialparameter für GL24h*:

${E_0} = 11.600{\text{ N/mm}}^2$
${E_{90}} = 0$
$G = 720{\text{ N/mm}}^2$
${G_r} = 72{\text{ N/mm}}^2$

Dehnsteifigkeit in Längsrichtung:

${c_x} = {E_0} \cdot \sum {{t_x}} = 3 \cdot 0,03 \cdot 11.600 \cdot {10^3} = 1.044.000{\text{ kN/m}}$

Dehnsteifigkeit in Querrichtung:

${c_y} = {E_0} \cdot \sum {{t_y} = } 2 \cdot 0,03 \cdot 11.600 \cdot {10^3} = 696.000{\text{ kN/m}}$

Scheibenschubsteifigkeit:

${c_{xy}} = {{{G_0} \cdot {h_{BSP}}} \over {1 + 6 \cdot 0,32 \cdot {{\left( {{t \over a}} \right)}^{ - 0,77}} \cdot {{\left( {{t \over a}} \right)}^2}}} = {{720 \cdot {{10}^3} \cdot 0,15} \over {1 + 6 \cdot 0,32 \cdot {{\left( {{{0,03} \over {0,15}}} \right)}^{ - 0,77}} \cdot {{\left( {{{0,03} \over {0,15}}} \right)}^2}}} = 85.362{\text{ kN/m}}$

Biegesteifigkeit:

${b_x} = {K_{clt}} = \sum {\left( {{E_i} \cdot {I_i}} \right) + \sum {\left( {{E_i} \cdot {A_i} \cdot {e_i}^2} \right) = } }$
$= 11.600 \cdot {10^6} \cdot \left( {3 \cdot {{{{0,03}^3} \cdot 1,0} \over {12}} + 0,03 \cdot 1,0 \cdot {{0,06}^2} + 0,03 \cdot 1,0 \cdot {{( - 0,06)}^2}} \right) = 2,58 \cdot {10^6}{\text{ Nm}}^2{\text{/m}}$

Verhältnis der Spannweite L zum Rippenabstand b: ${L \over b} = {{10,0} \over {1,45}} = 6,9$

aus dem Diagramm ergibt sich:

• für die Gleichlast bzw. den Feldbereich: ${{{b_{ef}}} \over b} = 0,73{\text{ }} \to {\text{ }}{{\rm{b}}_{ef,F}} = 0,73 \cdot 1,45 = 1,06{\text{ m}}$
• für die Einzellast bzw. den Auflagerbereich: ${{{b_{ef}}} \over b} = 0,395{\text{ }} \to {\text{ }}{{\rm{b}}_{ef,S}} = 0,395 \cdot 1,45 = 0,573{\text{ m}}$

Berechnung des Schwerpunkts (mit $E_{0,BSH} = E_{0,BSP} = E_0$ und $E_{90,BSP} = 0$):

${z_S} = {{\sum {{A_i} \cdot {e_i}} } \over {\sum {{A_i}} }} = {{160 \cdot 480 \cdot 240 + 1060 \cdot 90 \cdot \left( {480 + 75} \right)} \over {160 \cdot 480 + 1060 \cdot 90}} = 414,5{\text{ mm}}$

$e = {h_{BSH}}/2 + {h_{BSP}}/2 = 480/2 + 150/2 = 315{\text{ mm}}$

${e_{BSH}} = {z_s} - {h_{BSH}}/2 = 414,5 - 480/2 = 174,5{\text{ mm}}$

${e_{BSP}} = {h_{BSH}} + {h_{BSP}}/2 - {z_S} = 480 + 150/2 - 414,5 = 140,5{\text{ mm}}$

Biegesteifigkeit (mit $E_{0,BSH} = E_{0,BSP} = E_0$ und $E_{90,BSP} = 0$):

${E_0}{I_{y,ef}} = \sum {{E_i} \cdot {I_{y,i}} + \sum {{E_i} \cdot {A_i} \cdot {e_i}^2 = } }$
$= {E_0} \cdot \left[ {{{160 \cdot {{480}^3}} \over {12}} + 160 \cdot 480 \cdot {{174,5}^2} + {{3 \cdot 1060 \cdot {{30}^3}} \over {12}} + 1060 \cdot 30 \cdot {{\left( {150 - {{30} \over 2} + 480 - 414,5} \right)}^2} + } \right.$
$\left. { + 1060 \cdot 30 \cdot {{\left( {150 - {{30} \over 2} - 60 + 480 - 414,5} \right)}^2} + 1060 \cdot 30 \cdot {{\left( {{{30} \over 2} + 480 - 414,5} \right)}^2}} \right] = $
$= {E_0} \cdot 5,93 \cdot {10^9} = 11.600 \cdot 5,93 \cdot {10^9} = 6,88 \cdot {10^{13}}{\text{ Nmm}}^2 $

effektives Trägheitsmoment:

${I_{y,ef}} = 5,93 \cdot {10^9}{\text{ mm}}^4$

effektive Widerstandsmomente:

${W_{y,ef,o}} = {{{I_{y,ef}}} \over {{e_o}}} = {{5,93 \cdot {{10}^9}} \over { - \left( {140,5 + 150/2} \right)}} = {{5,93 \cdot {{10}^9}} \over { - 215,5}} = - 2,75 \cdot {10^7}{\text{ mm}}^3$

${W_{y,ef,u}} = {{{I_{y,ef}}} \over {{e_u}}} = {{5,93 \cdot {{10}^9}} \over {414,5}} = 1,43 \cdot {10^7}{\text{ mm}}^3$

Schubkorrekturfaktor (aus FE-Berechnung bzw. [1]):

$\kappa = 0,337$

Schubsteifigkeit:

${\left( {GA} \right)_{ef}} = \kappa \cdot \sum {\left( {{G_i} \cdot {A_i}} \right)} =$
$= 0,337 \cdot \left( {3 \cdot 720 \cdot 1060 \cdot 30 + 2 \cdot 72 \cdot 1060 \cdot 30 + 720 \cdot 160 \cdot 480} \right) = 4,33 \cdot {10^7}{\text{ N}} = 4,33 \cdot {10^4}{\text{ kN}} $

Berechnung des Schwerpunkts (mit $E_{0,BSH} = E_{0,BSP} = E_0$ und $E_{90,BSP} = 0$):

${z_S} = {{\sum {{A_i} \cdot {e_i}} } \over {\sum {{A_i}} }} = {{160 \cdot 480 \cdot 240 + 573 \cdot 90 \cdot \left( {480 + 75} \right)} \over {160 \cdot 480 + 573 \cdot 90}} = 366,5{\text{ mm}}$

$e = {h_{BSH}}/2 + {h_{BSP}}/2 = 480/2 + 150/2 = 315{\text{ mm}}$

${e_{BSH}} = {z_s} - {h_{BSH}}/2 = 366,5 - 480/2 = 126,5{\text{ mm}}$

${e_{BSP}} = {h_{BSH}} + {h_{BSP}}/2 - {z_S} = 480 + 150/2 - 366,5 = 188,5{\text{ mm}}$

Biegesteifigkeit (mit $E_{0,BSH} = E_{0,BSP} = E_0$ und $E_{90,BSP} = 0$):

${E_0}{I_{y,ef}} = \sum {{E_i} \cdot {I_{y,i}} + \sum {{E_i} \cdot {A_i} \cdot {e_i}^2 = } }$
$= {E_0} \cdot \left[ {{{160 \cdot {{480}^3}} \over {12}} + 160 \cdot 480 \cdot {{126,5}^2} + {{3 \cdot 573 \cdot {{30}^3}} \over {12}} + 573 \cdot 30 \cdot {{\left( {150 - {{30} \over 2} + 480 - 366,5} \right)}^2} + } \right.$
$\left. { + 573 \cdot 30 \cdot {{\left( {150 - {{30} \over 2} - 60 + 480 - 366,5} \right)}^2} + 573 \cdot 30 \cdot {{\left( {{{30} \over 2} + 480 - 366,5} \right)}^2}} \right] =$
$= {E_0} \cdot 4,66 \cdot {10^9} = 11.600 \cdot 4,66 \cdot {10^9} = 5,41 \cdot {10^{13}}{\text{ Nmm}}^2$

effektives Trägheitsmoment:

${I_{y,ef}} = 4,66 \cdot {10^9}{\rm{ mm}}^4$

Das Eigengewicht des Trägers ist g_1,k = (1,45 ⋅ 0,15 + 0,16 ⋅ 0,48) ⋅ 5,5 = 1,62 kN/m. Die ständige Last g_2,k = 2,0 kN/m² (Aufbau) und die Nutzlast q_k = 3,0 kN/m² wirken über die gesamte Breite b. Es ergibt sich damit als Streckenlast des Trägers g_2,k ⋅ b = 2,90 kN/m und q_k ⋅ b = 4,35 kN/m.

Die Belastung des Trägers beträgt somit q_d = 1,35 ⋅ (1,62 + 2,90) + 1,50 ⋅ 4,35 = 12,63 kN/m.

Maximales Biegemoment in Feldmitte:

${M_{y,\max }} = {{{q_d} \cdot {L^2}} \over 8} = {{12,63 \cdot {{10,0}^2}} \over 8} = 157,84{\text{ kNm}}$

Biegerandspannungen: ${\sigma _{o,\max }} = {{{M_{y,\max }}} \over {{W_{y,ef,o}}}} = {{157,84 \cdot {{10}^6}} \over { - 2,75 \cdot {{10}^7}}} = - 5,74{\text{ N/mm}}^2$ ${\sigma _{u,\max }} = {{{M_{y,\max }}} \over {{W_{y,ef,u}}}} = {{157,84 \cdot {{10}^6}} \over {1,43 \cdot {{10}^7}}} = 11,04{\text{ N/mm}}^2$

Nachweis:

${\sigma _{\max ,BSH,d}} \le {{{k_{\bmod }} \cdot {f_{m,BSH,k}}} \over {{\gamma _M}}}{\text{ bzw. }}{\sigma _{\max ,BSP,d}} \le {k_l} \cdot {{{k_{\bmod }} \cdot {f_{m,BSP,k}}} \over {{\gamma _M}}}$

Nachweis der Biegenormalspannungen im BSH-Träger:

$11,04{\text{ kN/mm}}^2 \le {{0,8 \cdot 24,0} \over {1,25}} = 15,36{\text{ kN/mm}}^2{\text{ }}\left( {\eta = 71,9{\text{ }}\% } \right)$

Nachweis der Biegenormalspannungen in der BSP-Platte (siehe [2][3]):

$5,74{\text{ kN/mm}}^2 \le 1,1 \cdot {{0,8 \cdot 24,0} \over {1,25}} = 16,90{\text{ kN/mm}}^2{\text{ }}\left( {\eta = 34,0{\text{ }}\% } \right)$

Maximale Querkraft am Auflager:

${V_{z,\max }} = {{{q_d} \cdot L} \over 2} = {{12,63 \cdot 10,0} \over 2} = 63,15{\text{ kN}}$

Schubspannungen τ_xz:

Statisches Moment in der Höhe des Schwerpunktes:

${S_y}({z_S}) = 160 \cdot 366,5 \cdot {{366,5} \over 2} = 1,07 \cdot {10^7}{\text{ mm}}^3$

Statisches Moment in der Höhe der Fuge BSH-Träger und BSP-Platte:

${S_y}(z = - 113,5) = 160 \cdot 480 \cdot 126,5 = 9,72 \cdot {10^6}{\rm{ mm}}^3$

Statisches Moment in der Höhe der maßgebenden Querlage in der BSP-Platte:

${S_y}(z = - 143,5) = 573 \cdot 60 \cdot (480 + 150 - 366,5 - 30 - 15) = 7,51 \cdot {10^6}{\text{ mm}}^3$

$\tau (z) = {{{V_z} \cdot {S_y}(z)} \over {{I_{y,ef}} \cdot b(z)}}$ Maximale Schubspannung (z = 0): ${\tau _{\max }} = {{63,15 \cdot {{10}^3} \cdot 1,07 \cdot {{10}^7}} \over {4,66 \cdot {{10}^9} \cdot 160}} = 0,91{\text{ N/mm}}^2$ Schubspannung in der Fuge BSH-BSP: $\tau (z = - 113,5) = {{63,15 \cdot {{10}^3} \cdot 9,72 \cdot {{10}^6}} \over {4,66 \cdot {{10}^9} \cdot 160}} = 0,82{\text{ N/mm}}^2$ Maximale Rollschubspannung (z = -143,5 mm): ${\tau _{r,\max }} = {{63,15 \cdot {{10}^3} \cdot 7,51 \cdot {{10}^6}} \over {4,66 \cdot {{10}^9} \cdot \left( {160 + 2 \cdot 30} \right)}} = 0,46{\text{ N/mm}}^2$

Nachweis:

${\tau _{\max ,d}} \le {{{k_{\bmod }} \cdot {f_{v,k}}} \over {{\gamma _M}}}{\text{ bzw. }}{\tau _{r,\max ,d}} \le {{{k_{\bmod }} \cdot {f_{r,k}}} \over {{\gamma _M}}}$

Nachweis der maximalen Schubspannungen im BSH-Träger
(Schubfestigkeit nach dem Entwurf der ÖNORM B 1995-1-1:2013):

$0,91{\text{ kN/mm}}^2 \le {{0,8 \cdot 2,5} \over {1,25}} = 1,60{\text{ kN/mm}}^2{\text{ }}\left( {\eta = 56,9{\text{ }}\% } \right)$

Nachweis der Rollschubspannungen in der BSP-Platte:

$0,46{\text{ kN/mm}}^2 \le {{0,8 \cdot 1,25} \over {1,25}} = 0,80{\text{ kN/mm}}^2{\text{ }}\left( {\eta = 57,8{\text{ }}\% } \right)$

nach [2] (siehe auch [4][3])

Schubkraft zwischen BSH-Träger und BSP-Platte: 0,82 ⋅ 160 = 131,2 N/mm = 131,2 kN/m

Schubkraft n_xy,d = 131,2 / 2 = 65,6 kN/m

Ideelle Ersatzdicke: ${t^*} = 120{\text{ mm}}$

Ideelle Nominalschubspannung: $\tau _{0,d}^* = {{{n_{xy,d}}} \over {{t^*}}} = {{65,6} \over {120}} = 0,55{\text{ N/mm}}^2$

$\tau _{v,d}^* = 2 \cdot \tau _{0,d}^* = 2 \cdot 0,55 = 1,10{\text{ N/mm}}^2$

Nachweis:

$\tau _{v,d}^* \le {{{k_{\bmod }} \cdot {f_{v,BSP,k}}} \over {{\gamma _M}}}$

$1,10{\text{ N/mm}}^2 \le {{0,8 \cdot 5,0} \over {1,25}} = 3,20{\text{ N/mm}}^2{\text{ }}\left( {\eta = 34,4{\text{ }}\% } \right)$

$\tau _{T,\max ,d}^* = 3 \cdot \tau _{0,d}^* \cdot {{t_{i,\max }^*} \over a} = 3 \cdot 0,55 \cdot {{30} \over {150}} = 0,33{\text{ N/mm}}^2$

Nachweis:

$\tau _{T,d}^* \le {{{k_{\bmod }} \cdot {f_{T,BSP,k}}} \over {{\gamma _M}}}$

$0,33{\text{ N/mm}}^2 \le {{0,8 \cdot 2,5} \over {1,25}} = 1,60{\text{ N/mm}}^2{\text{ }}\left( {\eta = 20,6{\text{ }}\% } \right)$

Für die Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit wird näherungsweise mit der mitwirkenden Breite für die Gleichlast gerechnet (siehe Art der Nachweisführung - ULS oder SLS; Querschnittswerte aus Kapitel Querschnittswerte - Feldbereich). Da hier kein einschnürender Effekt zufolge Einzellasten (Auflagerkräfte) auftritt, ist diese Breite konstant über die gesamte Trägerlänge.

${w_{\text{"}1,0\text{"}}} = {{5 \cdot \text{"}1,0\text{"} \cdot {L^4}} \over {384 \cdot {E_0} \cdot {I_{y,ef}}}} + {{\text{"}1,0\text{"} \cdot {L^2}} \over {8 \cdot {{\left( {GA} \right)}_{ef}}}} = {{5 \cdot 1,0 \cdot {{10,0}^4}} \over {384 \cdot 1,16 \cdot {{10}^7} \cdot 5,93 \cdot {{10}^{ - 3}}}} + {{1,0 \cdot {{10,0}^2}} \over {8 \cdot 4,33 \cdot {{10}^4}}} = 0,00189 + 0,00029\text{ m} = 2,18\text{ mm}$

${w_{\text{"}1,0\text{"}}} \cdot ({g_{2,k}} \cdot b + {q_k} \cdot b) = 2,18 \cdot (2,90 + 4,35) = 15,8\text{ mm} < {L \over {300}} = {{10.000} \over {300}} = 33,3\text{ mm }\left( {\eta = 47,5{\text{ }}\% } \right)$

${w_{\text{"}1,0\text{"}}} \cdot ({g_{1,k}} + {g_{2,k}} \cdot b + {\psi _2} \cdot {q_k} \cdot b) \cdot (1 + {k_{def}}) - {w_c} = $
$2,18 \cdot (1,62 + 2,90 + 0,3 \cdot 4,35) \cdot (1 + 0,69) - 0 = 21,5\text{ mm} < {L \over {250}} = {{10.000} \over {250}} = 40,0\text{ mm }\left( {\eta = 53,7{\text{ }}\% } \right)$

zusätzliche Annahmen:

• Deckenklasse II nach Entwurf ÖNORM B 1995-1-1:2013
• Breite des Deckenfeldes: b_D = 15,0 m
• Betonestrich (E = 25.000 N/mm²); Dicke: 65 mm

Effektive Biegesteifigkeit (inkl. Eigenbiegesteifigkeit des Estrichs) in Längsrichtung bezogen auf eine Rippe des Plattenbalkens:

${(EI)_{l,ef}} = {\left( {{E_0}{I_{y,ef}}} \right)_{PB}} + {\left( {EI} \right)_{Estrich}} = $
$1,16 \cdot {10^7} \cdot 5,93 \cdot {10^{ - 3}} + 2,50 \cdot {10^7} \cdot {{1,45 \cdot {{0,065}^3}} \over {12}} = 68.846 + 830 = 69.676\text{ kNm}^2$

Verschmierte Biegesteifigkeit in Längsrichtung bezogen auf 1 m:

${(EI)_{l,ef,1m}} = {{{{\left( {EI} \right)}_{l,ef}}} \over {1,45}} = {{69.676} \over {1,45}} = 48.052{\text{ kNm}}^2/\text{m} = 4,81 \cdot {10^7}{\text{ Nm}}^2/\text{m}$

Effektive Biegesteifigkeit (inkl. Eigenbiegesteifigkeit des Estrichs) in Querrichtung bezogen auf 1 m:

${(EI)_{b,ef,1m}} = {\left( {{E_0}{I_{x,ef}}} \right)_{PB,1m}} + {\left( {EI} \right)_{Estrich,1m}} =$
$1,16 \cdot {10^7} \cdot \left( {2 \cdot {{1,0 \cdot {{0,03}^3}} \over {12}} + 2 \cdot 1,0 \cdot 0,03 \cdot {{0,03}^2}} \right) + 2,50 \cdot {10^7} \cdot {{1,00 \cdot {{0,065}^3}} \over {12}} = 679 + 572 = 1.251\text{ kNm}^2/\text{m}$

${f_1} = {\pi \over {2 \cdot {L^2}}} \cdot \sqrt {{{{{\left( {EI} \right)}_{l,ef}}} \over m}} \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{L \over {{b_D}}}} \right)}^4} \cdot {{{{\left( {EI} \right)}_{b,ef,1m}}} \over {{{\left( {EI} \right)}_{l,ef,1m}}}}}$
$= {\pi \over {2 \cdot {{10,0}^2}}} \cdot \sqrt {{{6,9676 \cdot {{10}^7}} \over {(162 + 290)}}} \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{{10,0} \over {15,0}}} \right)}^4} \cdot {{1,25 \cdot {{10}^6}} \over {4,81 \cdot {{10}^7}}}} = 6,17 \cdot \approx 1,00 = 6,17\text{ Hz}$

${f_1} = 6,17\text{ Hz} > {f_{II,grenz}} = 6,00\text{ Hz}$

${b_F} = {L \over {1,1}} \cdot \root 4 \of {{{{{\left( {EI} \right)}_{b,ef,1m}}} \over {{{\left( {EI} \right)}_{l,ef,1m}}}}} = {{10,0} \over {1,1}} \cdot \root 4 \of {{{1.251} \over {48.052}}} = 3,65{\text{ m}}$

$w(1kN) = {{F \cdot {L^3}} \over {48 \cdot {{\left( {EI} \right)}_{l,ef,1m}} \cdot {b_F}}} + {{F \cdot L} \over {4 \cdot {{\left( {GA} \right)}_{ef}} \cdot {b_F}}} = {{1,0 \cdot {{10}^3} \cdot {{10,0}^3}} \over {48 \cdot 4,81 \cdot {{10}^7} \cdot 3,65}} + {{1,0 \cdot {{10}^3} \cdot 10,0} \over {4 \cdot 4,33 \cdot {{10}^7} \cdot 3,65}} =$
$= 1,34 \cdot {10^{ - 4}}\text{ m} = 0,13\text{ mm} < {w_{grenz,II}} = 0,50\text{ mm}$