Schwingungsnachweis am Einfeldträger nach ÖNORM B 1995-1-1:2014

In diesem Beispiel wird eine einfeldrige Wohnungsdecke mit schwerem Aufbau schwingungstechnisch nachgewiesen.

• Spannweite: 4,6 m
• Querschnitt: 5s á 30 mm
• Material: GL24h*
• Eigengewicht der BSP-Platte: g_1,k = 0,825 kN/m²
• ständige Lasten: g_2,k = 2,0 kN/m²
• Nutzlast der Kategorie A: q_k = 3,0 kN/m²

Querschnitt

System

Annahmen für die Schwingungsberechnung:

• Deckenklasse I nach ÖNORM B 1995-1-1:2014 Tabelle NA.7.2-E1
• Dämpfungsfaktor: ζ = 4,0% nach ÖNORM B 1995-1-1:2014 Tabelle NA.7.2-E5
• Breite des Deckenfeldes: b_D = 5,0 m
• Betonestrich (E = 25.000 N/mm²); Dicke: 50 mm

Materialparameter für GL24h*:

• E₀ = 11.600 N/mm²
• E₉₀ = 0 N/mm²
• G = 720 N/mm²
• G_r = 72 N/mm²

Biegesteifigkeit der BSP-Platte in Deckenspannrichtung:

${K_{clt}} = \sum {\left( {{I_i} \cdot {E_i}} \right)} + \sum {\left( {{A_i} \cdot {e_i}^2 \cdot {E_i}} \right)}$

${K_{clt}} = 11.600 \cdot {10^6} \cdot \left( {3 \cdot {{{{0,03}^3} \cdot 1,0} \over {12}} + 0,03 \cdot 1,0 \cdot {{0,06}^2} + 0,03 \cdot 1,0 \cdot {{( - 0,06)}^2}} \right) = 2,58 \cdot {10^6}{\text{ Nm}}^2{\text{/m}}$

Biegesteifigkeit der BSP-Platte rechtwinkelig zur Deckenspannrichtung:

${K_{clt,90}} = \sum {\left( {{I_i} \cdot {E_i}} \right)} + \sum {\left( {{A_i} \cdot {e_i}^2 \cdot {E_i}} \right)}$

${K_{clt,90}} = 11.600 \cdot {10^6} \cdot \left( {2 \cdot {{{{0,03}^3} \cdot 1,0} \over {12}} + 0,03 \cdot 1,0 \cdot {{0,03}^2} + 0,03 \cdot 1,0 \cdot {{( - 0,03)}^2}} \right) = 6,79 \cdot {10^5}{\text{ Nm}}^2{\text{/m}}$

Effektive Biegesteifigkeit in Deckenspannrichtung inkl. Eigenbiegesteifigkeit des Estrichs:

$(EI)_{l,ef} = K_{clt}+(EI)_{Estrich}$

$(EI)_{l,ef} =2,58 \cdot {10^6} + 2,50 \cdot {10^{10}} \cdot {{1,0 \cdot {{0,05}^3}} \over {12}} = 2,58 \cdot {10^6} + 2,60 \cdot {10^5}= 2,84 \cdot {10^6}\text{ Nm}^2/\text{m}$

Effektive Biegesteifigkeit der Decke rechtwinkelig zur Deckenspannrichtung inkl. Eigenbiegesteifigkeit des Estrichs:

$(EI)_{b,ef} = K_{clt,90}+(EI)_{Estrich}$

$(EI)_{b,ef} =6,79 \cdot {10^5} + 2,50 \cdot {10^{10}} \cdot {{1,0 \cdot {{0,05}^3}} \over {12}} = 6,79 \cdot {10^5} + 2,60 \cdot {10^5}= 9,39 \cdot {10^5}\text{ Nm}^2/\text{m}$

Schubkorrekturfaktor für einen 5-schichtigen Aufbau mit konstanten Schichtdicken nach dieser Glg. für $\kappa$:

$\kappa={\kappa _\text{5s}} = {5 \over 6} \cdot {1 \over {{1 \over {{{99}^2}}} \cdot \left( {3 + 2 \cdot {{{G_{90}}} \over {{G_0}}}} \right) \cdot \left( {960 \cdot {{{G_0}} \over {{G_{90}}}} + 883} \right)}}={5 \over 6} \cdot {1 \over {{1 \over {{{99}^2}}} \cdot \left( {3 + 2 \cdot {{{72}} \over {{720}}}} \right) \cdot \left( {960 \cdot {{{720}} \over {{72}}} + 883} \right)}}=0,244$

Effektive Schubsteifigkeit:

${\left( {GA} \right)_{ef}} = \kappa \cdot \sum {\left( {{G_i} \cdot {A_i}} \right)} = 0,244 \cdot \left( {3 \cdot 720 \cdot 1000 \cdot 30 + 2 \cdot 72 \cdot 1000 \cdot 30 } \right) = 1,68 \cdot {10^7}{\text{ N}}$

Eigenfrequenz $f_1$ bei 2-seitiger Lagerung (ohne Querverteilungswirkung):

${f_1} = {\pi \over {2 \cdot {L^2}}} \cdot \sqrt {{{{{\left( {EI} \right)}_{l,ef}}} \over m}}= {\pi \over {2 \cdot {{4,6}^2}}} \cdot \sqrt {{{2,84 \cdot {{10}^6}} \over {(825 + 2000)/9,81}}} = 7,38\text{ Hz}$

$f_{min}=4,5\text{ Hz} < f_1 = 7,38\text{ Hz} < f_{gr,I} = 8,00\text{ Hz}$

Wenn die Schubverformung berücksichtigt wird, ergibt sich eine Eigenfrequenz von $f_1=7,11\text{ Hz}$ (mit [1] ermittelt).

Eigenfrequenz $f_1$ bei 4-seitiger Lagerung (mit Querverteilungswirkung):

${f_1} = {\pi \over {2 \cdot {L^2}}} \cdot \sqrt {{{{{\left( {EI} \right)}_{l,ef}}} \over m}} \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{L \over {{b_D}}}} \right)}^4} \cdot {{{{\left( {EI} \right)}_{b,ef}}} \over {{{\left( {EI} \right)}_{l,ef}}}}}$

${f_1} = {\pi \over {2 \cdot {{4,6}^2}}} \cdot \sqrt {{{2,84 \cdot {{10}^6}} \over {(825 + 2000)/9,81}}} \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{{4,6} \over {5,0}}} \right)}^4} \cdot {{9,39 \cdot {{10}^5}} \over {2,84 \cdot {{10}^6}}}} = 7,38 \cdot 1,11 = 8,20\text{ Hz} > {f_{gr,I}} = 8,00\text{ Hz}$

Wenn die Schubverformung berücksichtigt wird, ergibt sich eine Eigenfrequenz von $f_1=7,91\text{ Hz}$ (mit [1] ermittelt).

Mitwirkende Breite $b_F$ nach Glg. (NA.7.2-E3):

${b_F} = {L \over {1,1}} \cdot \root 4 \of {{{{{\left( {EI} \right)}_{b,ef}}} \over {{{\left( {EI} \right)}_{l,ef}}}}} = {{4,6} \over {1,1}} \cdot \root 4 \of {{{9,39 \cdot {{10}^5}} \over {2,84 \cdot {{10}^6}}}} = 3,17{\text{ m}}$

Durchbiegung infolge einer vertikal wirkenden statischen Einzellast $F = 1\text{ kN}$ ohne Anteil der Schubverformung:

$w(1\text{kN}) = {{F \cdot {L^3}} \over {48 \cdot {{\left( {EI} \right)}_{l,ef}} \cdot {b_F}}} = {{1,0 \cdot {{10}^3} \cdot {{4,6}^3}} \over {48 \cdot 2,84 \cdot {{10}^6} \cdot 3,17}} =2,25 \cdot {10^{ - 4}}\text{ m} = 0,22\text{ mm} < {w_{gr,I}} = 0,25\text{ mm}$

Durchbiegung infolge einer vertikal wirkenden statischen Einzellast $F = 1\text{ kN}$ inkl. Anteil der Schubverformung:

$w(1\text{kN}) = {{F \cdot {L^3}} \over {48 \cdot {{\left( {EI} \right)}_{l,ef}} \cdot {b_F}}} + {{F \cdot L} \over {4 \cdot {{\left( {GA} \right)}_{ef}} \cdot {b_F}}} = {{1,0 \cdot {{10}^3} \cdot {{4,6}^3}} \over {48 \cdot 2,84 \cdot {{10}^6} \cdot 3,17}} + {{1,0 \cdot {{10}^3} \cdot 4,6} \over {4 \cdot 1,68 \cdot {{10}^7} \cdot 3,17}} = 2,46 \cdot {10^{ - 4}}\text{ m} = 0,25\text{ mm} ≤ {w_{gr,I}} = 0,25\text{ mm}$

Da die erste Eigenfrequenz in manchen Fällen unter der Grenzfrequenz liegt, wird die Schwingbeschleunigung berechnet.

${a_{rms}} = {{0,4 \cdot \alpha \cdot {F_0}} \over {2 \cdot \zeta \cdot {M^*}}}$ mit $\alpha = {e^{ - 0,4 \cdot {f_1}}}$ und ${M^*} = m \cdot {L \over 2} \cdot {b_F}$

${M^*} = {{\left( {825 + 2000} \right)} \over {9,81}} \cdot {{4,6} \over 2} \cdot 3,17 = 2100 \text{ kg}$

2-seitige Lagerung ohne Berücksichtigung der Schubverformung

$\alpha = {e^{ - 0,4 \cdot 7,38}} = 0,052$
${a_{rms}} = {{0,4 \cdot 0,052 \cdot 700} \over {2 \cdot 0,04 \cdot 2100}} = 0,09\text{ m/s}^2 > a_{gr,I}=0,05\text{ m/s}^2$

2-seitige Lagerung unter Berücksichtigung der Schubverformung

$\alpha = {e^{ - 0,4 \cdot 7,11}} = 0,058$
${a_{rms}} = {{0,4 \cdot 0,058 \cdot 700} \over {2 \cdot 0,04 \cdot 2100}} = 0,10\text{ m/s}^2 > a_{gr,I}=0,05\text{ m/s}^2$

4-seitige Lagerung unter Berücksichtigung der Schubverformung

$\alpha = {e^{ - 0,4 \cdot 7,91}} = 0,042$
${a_{rms}} = {{0,4 \cdot 0,042 \cdot 700} \over {2 \cdot 0,04 \cdot 2100}} = 0,07\text{ m/s}^2 > a_{gr,I}=0,05\text{ m/s}^2$