Lasteinleitung in Wandscheiben aus BSP – Bestimmung der wirksamen Lastverteilbreite

Bei der lokalen Einleitung von Kräften in eine BSP-Wandscheibe stellt sich die Frage, welcher Bereich der Wand mitwirkt bzw. wie die Spannungen in dieser verlaufen. Die wirksame Lastverteilbreite bef kann daher derart definiert werden, dass mit dieser rechnerischen Breite die mechanisch korrekte Spannung in einer bestimmten Tiefe $y$ entlang der Symmetrieachse bestimmt werden kann (siehe Glg. \eqref{eq:eqn_1}).

\begin{equation} \label{eq:eqn_1} {\sigma _y}(y) = {{p \cdot {b_p}} \over {{b_{ef}}(y)}} \end{equation}

Abb. 1: Wandscheibe aus Brettsperrholz mit lokaler Last $p$ und Verlauf der wirksamen Lastverteilbreite und der Spannungen über die Wandhöhe entlang der Symmetrieachse sowie das statische System

Im Rahmen des COMET K-Projektes focus_sts wurde diese Problemstellung bearbeitet und die wesentlichen Erkenntnisse werden in dieser Kurzfassung dargestellt.

In der Literatur, wie z. B. [1] findet man die Lösung für eine isotrope Halbscheibe (siehe Glg. \eqref{eq:eqn_2}). Hier spielt nur die halbe Lasteinleitungsbreite $c$ und der vertikale Abstand $y$ zur Oberkante der Wand eine Rolle. Die Lösung ist unabhängig von den Materialparametern. Es ergibt sich somit für die isotrope Halbscheibe ein Lastausbreitungswinkel von rund 38°.

\begin{equation} \label{eq:eqn_2} {b_{ef,iso,HS}}(y) = {c \over {{{y \cdot c} \over {\pi \cdot \left( {{c^2} + {y^2}} \right)}} + {1 \over \pi } \cdot \arctan \left( {{c \over y}} \right)}} \end{equation}

Im Rahmen des Tasks 2.2.3_2 wurde die Gleichung für die orthotrope Halbscheibe (siehe Glg. \eqref{eq:eqn_3}) hergeleitet.

\begin{equation} \label{eq:eqn_3} {b_{ef,ortho,HS}}(y) = {{c \cdot \pi \cdot \left( {{\lambda _1} - {\lambda _2}} \right)} \over {{\lambda _1} \cdot \arctan \left( {{c \over {{\lambda _2} \cdot y}}} \right) - {\lambda _2} \cdot \arctan \left( {{c \over {{\lambda _1} \cdot y}}} \right)}} \end{equation}

mit:

Die wirksame Lastverteilbreite wird neben den Materialeigenschaften auch von den Lagerungsbedingungen stark beeinflusst. Im Folgenden soll nun die analytische Lösung für eine BSP-Wand mit endlicher Wandhöhe dargestellt sowie die wesentlichen Parameter diskutiert werden.

Für die Berechnung der wirksamen Lastverteilbreite $b_{ef}$ bei einer lokalen Lasteinleitung in eine BSP-Wandscheibe kann eine periodische Last im Abstand $L$ angenommen werden. Damit kann das in Abb. 2 dargestellte System mit Hilfe einer Fourierreihenentwicklung analytisch gelöst werden. Je nach Periodenlänge $L$ bzw. Abstand der einwirkenden Kräfte findet eine oder keine gegenseitige Beeinflussung der Lasteinleitungspunkte statt.

Abb. 2: System für eine analytische Lösung mit Fourierreihenentwicklung

Die Belastung wird dazu mit Hilfe einer Fourierreihe dargestellt. Für das in Abb. 2 dargestellte Koordinatensystem ergibt sich eine Symmetrie bezüglich der $y$-Achse und damit enthält die Fourierreihe nur Cosinus-Anteile (siehe Glg. \eqref{eq:eqn_4}).

\begin{equation} \label{eq:eqn_4} p(x) = {{{p_0}} \over 2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{p_n} \cdot } \cos \left( {{{2 \cdot \pi \cdot n} \over L} \cdot x} \right) \end{equation}

Die Fourierkoeffizienten $p_0$ und $p_n$ berechnen sich nach Glg. \eqref{eq:eqn_5}.

\begin{equation} \label{eq:eqn_5} \eqalign{ & {p_0} = {{2 \cdot p} \over L} \cdot \int\limits_{ - c}^c {dx = {{4 \cdot c \cdot p} \over L}} \cr & {p_n} = {{2 \cdot p} \over L} \cdot \int\limits_{ - c}^c {\cos \left( {{{2 \cdot \pi } \over L} \cdot n \cdot x} \right) \cdot dx = {{2 \cdot p} \over {n \cdot \pi }} \cdot \sin \left( {{{2 \cdot c \cdot n \cdot \pi } \over L}} \right)} \cr} \end{equation}

Das zu lösende Differentialgleichungssystem sowie die Lösung dieses Problems sind dem Forschungsbericht [2] zu entnehmen. Es wird zwischen dem allgemeinen Fall und einem numerischen Sonderfall unterschieden. Beim numerischen Sonderfall gilt:

\begin{equation} \label{eq:eqn_6} {c_x} \cdot {c_y} - 4 \cdot {c_{xy}}^2 = 0 \end{equation}

Für die weiteren Betrachtungen in dieser Zusammenfassung wird ein Faktor $f_c$ eingeführt, der ein Verhältnis der Dehnsteifigkeiten und der Schubsteifigkeit angibt und wie folgt berechnet wird:

\begin{equation} \label{eq:eqn_7} {f_c} = {{{c_x} \cdot {c_y}} \over {4 \cdot {c_{xy}}^2}} \end{equation}

Da sich die Lösung des Differentialgleichungssystems für die lokale Lasteinleitung in eine BSP-Wand nur noch mit Software-Einsatz ohne große Mühen berechnen lässt, wurde im Forschungsbericht [2] ein Fitting durchgeführt bzw. eine Approximation (siehe Glg. \eqref{eq:eqn_8}) vorgeschlagen.

\begin{equation} \label{eq:eqn_8} {b_{ef,approx}}(y) = \min \left\{ {\matrix{ {{b_{ef,ortho,HS}}(h) \cdot \left( {{2 \over 3} + \beta \cdot {c \over h}} \right)} \cr {0,9 \cdot {b_{ef,ortho,HS}}(y)} \cr } } \right.{\text{ gültig für }}{c \over h} \le 0,25{\text{ und }}L \ge h \end{equation}

mit:

Abb. 3: Näherungslösung für die wirksame Lastverteilbreite b_ef,approx

Für Lasteinleitungen mit $c/h$ > 0,25 kann näherungsweise davon ausgegangen werden, dass die wirksame Lastverteilbreite $b_{ef,approx}$ der Lasteinleitungsbreite $b_p$ entspricht.

siehe Dehnsteifigkeiten

siehe Schubsteifigkeit bei Belastung in Scheibenebene

Die wesentlichsten Parameter für die wirksame Lastverteilbreite sind:

• Lasteinleitungsbreite $b_p$
• Decklagenorientierung bzw. das Verhältnis der Dehnsteifigkeiten in ($c_y$) und quer zur ($c_x$) Lastrichtung
• Schubsteifigkeit $c_{xy}$
• Wandhöhe $h$ bzw. Einfluss der Lagerung

In Abb. 4 ist der Verlauf der wirksamen Breite $b_{ef}$ über die Höhe einer 5-schichtigen BSP-Wand (Aufbau 40-40-40-40-40 mm, vertikale Decklagen, Wandhöhe 3 m) für unterschiedliche Lasteinleitungsbreiten (0,25 bis 1,50 m) dargestellt. Es ist ersichtlich, dass bei kleineren Lasteinleitungsbreiten der Lastausbreitungswinkel größer ist als bei größeren Lasteinleitungsbreiten.

Abb. 4: Wirksame Lastverteilbreite $b_{ef}$ in Abhängigkeit der Lasteinleitungsbreite $b_p$ bei einer 5-schichtigen BSP-Wand (5s á 40 mm, Decklagen in Richtung der Lasteinleitung, Wandhöhe 3 m)

Ist jedoch die Wandhöhe größer und somit der beeinflussende Lagerbereich weiter entfernt, ist ein Unterschied in der wirksamen Breite nur im Bereich der Lasteinleitung erkennbar (siehe Abb. 5). Für eine Lasteinleitungsbreite von 3,00 m ist jedoch auch bei einer 20 m hohen Wand ein Einfluss der Lagerung erkennbar.

Abb. 5: Wirksame Lastverteilbreite $b_{ef}$ in Abhängigkeit der Lasteinleitungsbreite $b_p$ bei einer 5-schichtigen BSP-Wand (5s á 40 mm, Decklagen in Richtung der Lasteinleitung, Wandhöhe 20 m)

Wie bereits zuvor erwähnt, spielt auch die Wandhöhe bzw. die Lagerung der Wand eine Rolle. In Abb. 6 wird dies anhand einer 3 m hohen Wandscheibe im Vergleich zur unendlich hohen Wandscheibe (Halbraum) für isotropes und orthotropes Materialverhalten gezeigt. Als Beispiel für orthotropes Materialverhalten wurde hier eine 5-schichtige BSP-Wand (Aufbau 30-30-30-30-30 mm) mit Decklagen in Richtung der Lasteinleitung herangezogen.

Abb. 6: Unterschied in der wirksamen Breite bei Vernachlässigung (Halbraum) und Berücksichtigung (3 m) der Lagerung bei isotropen sowie orthotropen Materialeigenschaften der Wand

In Abb. 7 ist der Einfluss der Wandhöhe auf die effektive Breite bef anhand einer 5-schichtigen Wand (Aufbau 40-40-40-40-40 mm) mit Decklagen in Kraftrichtung und einer Lasteinleitungsbreite $b_p$ von 0,3 m dargestellt. Die Wandhöhen variieren von 2,0 bis 20,0 m.

Abb. 7: Wirksame Lastverteilbreite $b_{ef}$ in Abhängigkeit der Wandhöhe bei einer 5-schichtigen BSP-Wand (5s á 40 mm, Decklagen in Richtung der Lasteinleitung, Lasteinleitungsbreite 0,3 m)

Die Decklagenorientierung bzw. das Verhältnis der Dehnsteifigkeiten in und quer zur Lastrichtung üben einen wesentlichen Einfluss auf die wirksame Breite aus. In Abb. 8 ist der Unterschied für eine 5-schichtige BSP-Wand (Aufbau 40-40-40-40-40 mm) mit einer Wandhöhe von 3 m und einer Lasteinleitungsbreite $b_p$ von 0,3 m dargestellt. Das Verhältnis der Dehnsteifigkeiten $c_y$/$c_x$ beträgt 1,50 (längs) bzw. 0,67 (quer) und der Faktor $f_c$ (siehe Glg. \eqref{eq:eqn_7}) ist für beide Fälle 29,6.

In Abb. 9 ist die effektive Breite in Abhängigkeit des Verhältnisses der Längsdehnsteifigkeit zur Querdehnsteifigkeit dargestellt. Für derzeit am Markt befindliche Aufbauten liegt dieses Verhältnis zwischen 0,20 (Decklagen quer zur Lastrichtung) und 5,00 (Decklagen in Lastrichtung). Der Faktor $f_c$ wurde hier mit 25 angenommen.

Abb. 8: Wirksame Lastverteilbreite $b_{ef}$ in Abhängigkeit der Decklagenorientierung in Bezug zur Lastrichtung (längs: $c_y$/$c_x$ = 1,50; quer: $c_y$/$c_x$ = 0,67) bei einer 5-schichtigen BSP-Wand (5s á 40 mm, Wandhöhe 3 m, Lasteinleitungsbreite 0,3 m)

Abb. 9: Wirksame Lastverteilbreite $b_{ef}$ in Abhängigkeit des Verhältnisses der Dehnsteifigkeiten längs zu quer $c_y$/$c_x$ (Faktor $f_c$ = 25)

Nicht nur die Dehnsteifigkeiten $c_x$ und $c_y$ sind Parameter bei der Berechnung der wirksamen Breite, sondern auch die Schubsteifigkeit $c_{xy}$ der Wand.

In Abb. 10 ist der Einfluss des Faktors $f_c$ auf die wirksame Lastverteilbreite dargestellt. Das Verhältnis der Dehnsteifigkeiten wurde hier mit 1,0 angenommen. Für derzeit am Markt befindliche Aufbauten liegt der Faktor $f_c$ zwischen 15 und 40. Wände mit geringerer Schubsteifigkeit (größerem Faktor $f_c$) weisen eine kleinere effektive Breite auf.

Abb. 10: Wirksame Lastverteilbreite bef in Abhängigkeit des Verhältnisses $c_x \cdot c_y / (4 \cdot c_{xy}^2)$ (Dehnsteifigkeit $c_x$ = $c_y$)

Abb. 11: Wirksame Lastverteilbreite $b_{ef}$ in Abhängigkeit der Verhältnisse $c_x$ / $c_y$ | $c_x \cdot c_y / (4 \cdot c_{xy}^2$) (Wandhöhe 3 m, Lasteinleitungsbreite $b_p$ 0,3 m)

In Abb. 11 sind beide Parameter – Verhältnis der Dehnsteifigkeiten sowie der Faktor $f_c$ – berücksichtigt. Es ist ersichtlich, dass der Einfluss der Schubsteifigkeit bei Decklagen quer zur Lastrichtung etwas größer ist als bei Decklagen in Lastrichtung.

Ist der untere Rand der BSP-Wand nicht durchgehend gelagert, sondern erfolgt die Lagerung z. B. auf Stützen, spricht man von einer Lastdurchleitung. Für den Fall, dass die Lasteinleitung und die Lagerung der Wand die gleiche Breite aufweisen und die resultierenden Kräfte auf einer Wirkungslinie liegen, kann eine Symmetrie in Wandmitte angenommen werden. Dieser Fall wurde in [2] analytisch gelöst.

Abb. 12: Wandscheibe aus Brettsperrholz mit lokaler Lastdurchleitung $p$ über die Länge $b_p$ und Verlauf der wirksamen Lastverteilbreite $b_{ef}$ sowie der Spannungen $\sigma_y(y)$ über die Wandhöhe entlang der Symmetrieachse

Vergleicht man die wirksamen Breiten bei Lastdurchleitung mit jenen bei Lasteinleitung, so ergeben sich für isotrope Materialeigenschaften die in Abb. 13 dargestellten Unterschiede. In Wandmitte weicht die Lösung der Lasteinleitung mit halber Wandhöhe rund 10% von der Lösung der Lastdurchleitung ab.

Abb. 13: Vergleich der wirksamen Lastverteilbreiten bei Lastdurchleitung und Lasteinleitung bei isotropen Materialeigenschaften

Für orthotrope Materialeigenschaften kann in guter Näherung auch die Lasteinleitung mit halber Wandhöhe für die Lastdurchleitung herangezogen werden. Die Unterschiede für die derzeit am Markt befindlichen Aufbauten betragen maximal 1,5% und sind somit vernachlässigbar.

Abb. 14: Vergleich der wirksamen Lastverteilbreiten bei Lastdurchleitung und Lasteinleitung bei orthotropen Materialeigenschaften

Für den Fall, dass eine Last am Ende einer Wand angreift, liegt derzeit weder eine geschlossene analytische Lösung, noch eine Näherungslösung vor. Die Lastverteilbreite sollte daher bei Erfordernis mit Hilfe numerischer Methoden (z. B. mittels FEM) berechnet werden.

Betrachtet wird ein 3-schichtige BSP-Wandelement ($t_{CLT}$ = 90 mm, 30-30-30 mm) mit einer Höhe von 3 m. Die Orientierung der Decklagen ist in Kraftrichtung. Als Material wird GL24h* verwendet. Die Lasteinleitungsbreite beträgt 0,2 m. Pro Lasteinleitungspunkt sollen 100 kN eingeleitet werden. Untersucht werden zwei unterschiedliche Abstände der Lasteinleitungspunkte (5 m und 1 m).

Die Berechnung des Druckverlaufs sowie der wirksamen Breite (exakte Lösung) erfolgt über das Tool „LocalLoadIntroductionAnalyser“ [3] und wird mit der Näherungslösung $b_{ef,approx}$ verglichen.

Wandquerschnitt in Lastrichtung:

Abstand der Lasteinleitungspunkte 5,0 m:

Abstand der Lasteinleitungspunkte 1,0 m:

Materialparameter für GL24h*:

• $E_0$ = 11.600 N/mm²
• $E_{90}$ = 0
• $G_0$ = 720 N/mm²
• $G_{90}$ = 72 N/mm²

Dehnsteifigkeit quer zur Kraftrichtung:

${c_x} = {E_0} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{{n_x}} {{t_{i,x}}} = 11.600 \cdot 30 = 348.000{\text{ N/mm}}$

Dehnsteifigkeit in Kraftrichtung:

${c_y} = {E_0} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{{n_y}} {{t_{i,y}}} = 11.600 \cdot 2 \cdot 30 = 696.000{\text{ N/mm}}$

Schubsteifigkeit in Scheibenebene:

${G^ * } = {{{G_0}} \over {1 + 6 \cdot {p_S} \cdot {{\left( {{t \over a}} \right)}^{1,21}}}} = {{720} \over {1 + 6 \cdot 0,53 \cdot {{\left( {{{30} \over {150}}} \right)}^{1,21}}}} = 495{\text{ N/m}}{{\text{m}}^2}$

${c_{xy}} = {G^ * } \cdot {t_{CLT}} = 495 \cdot 90 = 44.550{\text{ N/mm}}$

Verhältnis der Dehnsteifigkeiten:

${{{c_y}} \over {{c_x}}} = {{696.000} \over {348.000}} = 2,0$

Faktor $f_c$:

${f_c} = {{{c_x} \cdot {c_y}} \over {4 \cdot {c_{xy}}^2}} = {{348.000 \cdot 696.000} \over {4 \cdot {{44.550}^2}}} = 30,5$

Dividiert man den Druck in der Scheibe durch die Summe der Schichtdicken in Kraftrichtung (hier 2·30 mm), erhält man die Druckspannungen im BSP-Querschnitt.

Aus dem Vergleich der wirksamen Breiten für die zwei unterschiedlichen Abstände der Lasteinleitungspunkte ist erkennbar, dass bei einem Abstand von nur 1 m eine gegenseitige Beeinflussung der Lasteinleitungen stattfindet. Hingegen kann sich bei 5 m Abstand die wirksame Breite frei ausbilden.

Mit der Näherungslösung kann nur der Fall mit 5 m Lasteinleitungsabstand berechnet werden, da mit dieser Lösung die gegenseitige Beeinflussung von zwei Lasteinleitungspunkten nicht berücksichtigt werden kann.

$p = \sqrt {{1 \over 2} \cdot {{{c_x}} \over {{c_{xy}}}}} = \sqrt {{1 \over 2} \cdot {{348.000} \over {44.550}}} = 1,976$

$q = \root 4 \of {{{{c_x}} \over {{c_y}}}} = \root 4 \of {{{348.000} \over {696.000}}} = 0,841$

${\lambda _1} = \sqrt {{p^2} + \sqrt {{p^4} - {q^4}} } = \sqrt {{{1,976}^2} + \sqrt {{{1,976}^4} - {{0,841}^4}} } = 2,783$

${\lambda _2} = \sqrt {{p^2} - \sqrt {{p^4} - {q^4}} } = \sqrt {{{1,976}^2} - \sqrt {{{1,976}^4} - {{0,841}^4}} } = 0,254$

${b_{ef,ortho,HS}}(1,5m) = {{0,10 \cdot \pi \cdot \left( {2,783 - 0,254} \right)} \over {2,783 \cdot \arctan \left( {{{0,10} \over {0,254 \cdot 1,5}}} \right) - 0,254 \cdot \arctan \left( {{{0,10} \over {2,783 \cdot 1,5}}} \right)}} = 1,122{\text{ m}}$

${b_{ef,ortho,HS}}(3,0m) = {{0,10 \cdot \pi \cdot \left( {2,783 - 0,254} \right)} \over {2,783 \cdot \arctan \left( {{{0,10} \over {0,254 \cdot 3,0}}} \right) - 0,254 \cdot \arctan \left( {{{0,10} \over {2,783 \cdot 3,0}}} \right)}} = 2,207{\text{ m}}$

${b_{ef,approx}}(1,5m) = 0,9 \cdot {b_{ef,ortho,HS}}(1,5m) = 0,9 \cdot 1,122 = 1,010{\text{ m}}$

${b_{ef,approx}}(3,0m) = {b_{ef,ortho,HS}}(3,0m) \cdot \left( {{2 \over 3} + \beta \cdot {c \over h}} \right) = 2,207 \cdot \left( {{2 \over 3} + 0,35 \cdot {{0,10} \over {3,0}}} \right) = 1,497{\text{ m}}$

Für die Berechnung der wirksamen Lastverteilbreite bei einer lokalen Lasteinleitung in eine Wandscheibe aus BSP steht auf der Homepage der holz.bau forschungs gmbh das Tool „LocalLoadIntroductionAnalyser“ [3] zur Verfügung.