Plattenbiegung (transversale Schubbeanspruchung)

In den letzten Jahren sind für die Berechnung von Brettsperrholzelementen zahlreiche Verfahren entwickelt worden. Die genaue Erfassung der Schichtstruktur, besonders die Einflüsse aus den schubweichen Querlagen (Schichtorientierung orthogonal zur Richtung der Lastabtragung), ist dabei von zentraler Bedeutung. Viele der neu entwickelten Berechnungsverfahren stellen dabei Näherungslösungen dar, einige sind in Abb. 1 der exakten Lösung des schubnachgiebigen mehrschichtigen Verbundbalkens gegenübergestellt.

Orthogonal alternierend geschichtete Strukturen mit sehr schubweichen Querlagen (wie z. B. Brettsperrholz) zeigen im Vergleich zu unidirektional geschichteten Strukturen deutlich erhöhte Schubverformungsanteile an der Gesamtverformung. Für L/H-Verhältnisse von rund 20 kann dieser Anteil mit rund 10 Prozent, siehe Abb. 1 für Strukturen mit konstanter Einzelschichtdicke und drei Einzellagen, angeführt werden.

Heute produzierte Brettsperrholzplatten werden aufgrund ihrer geometrischen Abmessungen sowie den geometrischen Randbedingungen der Bauwerke weitgehend in Form von Bauteilen mit nur einer ausgeprägten Richtung zur Lastabtragung eingesetzt. Somit reichen Berechnungsmodelle basierend auf 1D-Balkentheorien für die Bemessung von BSP-Elementen weitgehend aus.

Eine verallgemeinerte Berechnungstheorie (z. B. exakte Lösung für den geschichteten Balken, siehe [1]) ist für die Bemessung eines Brettsperrholzelementes mit baupraktischen Geometrieverhältnissen von L/H > 15 gewöhnlich nicht erforderlich. Auf die in den letzten Jahren entwickelten approximativen Berechnungsverfahren wird an dieser Stelle nicht näher eingegangen, da diese einerseits für den baupraktischen Bereich keine wesentliche Verbesserung der Ergebnisse liefern und andererseits für geringe L/H-Verhältnisse (L/H < 5) deutliche Abweichungen von exakten Lösungen zeigen.

Vergleichsberechnungen in Form von Parameterstudien zeigen, dass die an dieser Stelle in Abhängigkeit der Balkengeometrie empfohlenen klassischen linear elastischen Balkentheorien ausreichende Ergebnisgenauigkeiten für eine Bemessung liefern:

Der als bekannt vorausgesetzte Euler-Bernoulli-Balken wird an dieser Stelle nicht behandelt. Für den baupraktischen Bereich wird an dieser Stelle die Berechnung auf Basis des klassischen Timoshenko-Balkens (transversal-schubnachgiebiger Balken) gezeigt.

Derzeit beschränkt sich die Verwendung von BSP-Elementen auf die Nutzungsklassen 1 und 2. Aufgrund der orthogonalen Verklebung der Einzelbretter ergeben sich für BSP-Elemente deutlich homogenisierte Schwind- und Quelleigenschaften. Um die dabei entstehenden inneren Zwänge gering zu halten, ist auf eine entsprechend geringe Feuchtigkeitsschwankung gegenüber der Herstellungsfeuchte zu achten. In der Nutzungsklasse 3 kann diesen Umständen nicht Rechnung getragen werden.

Verformungsberechnung für den Anfangszustand (t = 0):

Die Berechnung der Verformungen für den Anfangszustand erfolgt auf Basis der Mittelwerte der Elastizitätskonstanten (E-Modul und G-Modul). Die Mittelwerte der Elastizitätskonstanten (E-Modul und G-Modul für die Richtungen parallel und senkrecht) sind dabei entsprechend dem sortierklassenkonform zugeordneten Brettschichtholz nach ON EN 1194:1999 anzusetzen. Bei der Berechnung der Systemverformungen für Balkengeometrien mit 15 < L/H < 30 wird die Berücksichtigung der Anteile aus der Schubverformung empfohlen. Für diesen baupraktischen Bereich kann mit ausreichender Genauigkeit eine Verformungsberechnung auf Basis des klassischen Timoshenko-Balkens mit den entsprechenden linear elastischen Steifigkeitseigenschaften (Biegung und Schub) erfolgen. Bei der Berechnung der Verformung wird zusätzlich zum Hauptanteil aus dem Biegemoment auch der Anteil aus der Querkraft auf Basis einer mittleren, korrigierten Schubverzerrung über den Querschnitt berücksichtigt. Die Abweichungen im Vergleich zur exakten Lösung des schubnachgiebigen mehrschichtigen Balkens liegen für übliche BSP-Querschnitte im Falle des Einfeldträgers mit einem L/H > 10 im Bereich von rund 4 %.

Grundlagen für die Verformungsberechnung für den Endzustand (t → ∞) unter Berücksichtigung der Langzeitverformung (Kriechen)

Die Berechnung der Verformung für den Endzustand hat unter Berücksichtigung der Mittelwerte der Elastizitätskonstanten sowie des Langzeitverhaltens (Kriechen, Deformationsbeiwert $k_{def}$) für die langzeitrelevanten Lastanteile ($\psi_2$ … Beiwert für den quasi-ständigen Anteil einer veränderlichen Einwirkung) nach den in ON EN 1995-1-1:2009 [2] definierten Beziehungen zu erfolgen.

Gegenüber den 1D-geschichteten Holzwerkstoffen ohne Sperrwirkung, z. B. Brettschichthölzer, sind aufgrund der Querlagen und einer damit verbundenen Schubbeanspruchung einzelner Querschnittsteile senkrecht zur Faser, erhöhte Verformungsbeiwerte zur Berücksichtigung der Kriechverformung anzusetzen. Für den Verformungsbeiwert $k_{def}$ sollte demnach gegenüber geschichteten Produkten ein erhöhter Wert in Rechnung gestellt werden. Für die Nutzungsklasse 1 gilt somit nach ON EN 1995-1-1:2009 [2] ein Verformungsbeiwert von 0,80, für die Nutzungsklasse 2 gilt für den Verformungsbeiwert $k_{def}$ = 1,0. Detaillierte Erkenntnisse zu den Deformationsbeiwerten für BSP mit konstanten Einzelschichtdicken können Jöbstl [3] entnommen werden.

Da Steifigkeitseigenschaften bekanntlicherweise in allen Bereichen der Bemessung (Nachweise im ULS und SLS) Eingang finden, werden diese für geschichtete Strukturen im Folgenden näher erläutert.

Drillsteifigkeit für einen geschichteten Querschnitt

Aufgrund der 1D-Plattenstreifen-Berechnung, die Drillsteifigkeit wird für den Fall der 1D-Lastabtragung nicht aktiviert, kann unabhängig von der Art der Einzellagenausbildung (fugenlose Einzelbrettanordnung mit oder ohne Schmalseitenverklebung) in der Berechnung von homogenen Einzelschichten ausgegangen werden.

Biegesteifigkeit für einen geschichteten Querschnitt

Aufgrund des charakteristischen symmetrischen Querschnittsaufbaus von Brettsperrholz, abwechselnde Längs- und Querlagenorientierung mit unterschiedlichen Materialeigenschaften über den Querschnitt, ist die Berücksichtigung der Materialparameter der Einzelschichten ($E_0$, $E_{90}$) für die Bestimmung der Biegesteifigkeit zwingend erforderlich. Für den oben erwähnten Timoshenko-Balken ergibt sich die Biegesteifigkeit $K_{clt}$ nach der elastischen Verbundtheorie wie folgt:

\begin{equation} \label{eq:eqn_1} {K_{clt}} = \sum {\left( {{I_i} \cdot {E_i}} \right)} + \sum {\left( {{A_i} \cdot {e_i}^2 \cdot {E_i}} \right)} \end{equation}

Die Querlagen tragen zur gesamten Biegesteifigkeit aufgrund des großen Verhältnisses, $E_0/E_{90}$ von ca. 30, mit einem verschwindend geringen Anteil bei, deshalb kann in guter Näherung $E_{90}$ = 0 angenommen werden.

Durch die Annahme $E_{90}$ = 0 werden die Querlagen bei der Berechnung der Biegesteifigkeit nicht wirksam. Bei BSP-Elementen mit unterschiedlichen Materialeigenschaften der Längslagen (z. B. bei Verwendung von Holzwerkstoffplatten als Decklagen, etc.) sind die Steifigkeitsanteile der Einzellagen entsprechend Glg. \eqref{eq:eqn_1} zu addieren.

Schubsteifigkeit für einen geschichteten Querschnitt

Die Schubsteifigkeit des geschichteten Querschnitts errechnet sich wie folgt:

\begin{equation} \label{eq:eqn_2} {S_{ges}} = \sum {\left( {{G_i} \cdot {b_i} \cdot {t_i}} \right) = \sum {\left( {{G_i} \cdot {A_i}} \right)} } \end{equation}

Die Materialkenngröße $G_{90}$ ist für die Berechnung der Schubsteifigkeit nicht mit Null anzusetzen. Baustatisch sind die Querlagen aus Gleichgewichtsgründen für die Schubspannungsübertragung notwendig und daher im Bemessungsverfahren auch zu beachten.

\begin{equation} \label{eq:eqn_3} S_{clt}=S_{ges} \cdot \kappa \end{equation}

Der Schubkorrekturfaktor $\kappa$ ist für den geschichteten Querschnitt unter Berücksichtigung der Materialkennwerte und der Geometrie nach Glg. \eqref{eq:eqn_4} für den allgemeinen Fall nach Bogensperger/Moosbrugger [4] zu ermitteln.

\begin{equation} \label{eq:eqn_4} \kappa = 1/\left( {{S_{ges}} \cdot {1 \over {{K_{clt}}^2}} \cdot \int\limits_h {{{{S^2}(z,E(z))} \over {G(z) \cdot b(z)}}dz} } \right) \end{equation}

Für Querschnittsaufbauten mit unterschiedlicher Anzahl an Einzelschichten konstanter/variabler Stärke sind die Werte für die Schubkorrekturfaktoren in Abb. 3.a und 3.b angegeben. Die Materialkennwerte der Einzelschichten wurden dabei konsistent zu EN 1194:1999 [5] angenommen. Es ist deutlich erkennbar, dass durch die Einflüsse der schubweichen Querlagen die Schubsteifigkeit des gesamten Querschnitts auf ca. 1/4 (siehe Abb. 3.a) reduziert wird. Für 3-schichtige BSP-Platten ergeben sich aus den genannten Gründen geometriebedingt die niedrigsten Schubkorrekturfaktoren.

Für die in Abb. 1 dargestellten Bereiche für das Verhältnis $t_{längs}/t_{ges}$, kann mit ausreichender Genauigkeit schichtanzahlabhängig nahezu mit einem konstanten Wert, laut Abb. 3.a, für die Schubkorrekturfaktoren gerechnet werden, da die Anteile aus der Schubverformung an der Gesamtverformung in Abhängigkeit des L/H-Verhältnisses nur rund 10 bis 20 % erreichen. Die nahezu konstanten Werte für die Schubkorrekturfaktoren sind in Abb. 3.b ersichtlich.

Jöbstl [3] gibt für geschichtete Querschnitte mit konstanten Einzelschichtstärken und für die Bedingung $E_{90}$ = 0 folgende vereinfachte Beziehungen für die Schubkorrekturfaktoren für 3-, 5- und 7-schichtige Querschnitte an:

\begin{equation} \label{eq:eqn_5} {\kappa _{3s}} = {5 \over 6} \cdot {1 \over {{1 \over {{{26}^2}}} \cdot \left( {2 + {{{G_{90}}} \over {{G_0}}}} \right) \cdot \left( {120 \cdot {{{G_0}} \over {{G_{90}}}} + 102} \right)}} \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:eqn_6} {\kappa _{5s}} = {5 \over 6} \cdot {1 \over {{1 \over {{{99}^2}}} \cdot \left( {3 + 2 \cdot {{{G_{90}}} \over {{G_0}}}} \right) \cdot \left( {960 \cdot {{{G_0}} \over {{G_{90}}}} + 883} \right)}} \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:eqn_7} {\kappa _{7s}} = {5 \over 6} \cdot {1 \over {{1 \over {{{244}^2}}} \cdot \left( {4 + 3 \cdot {{{G_{90}}} \over {{G_0}}}} \right) \cdot \left( {4080 \cdot {{{G_0}} \over {{G_{90}}}} + 3884} \right)}} \end{equation}

Für die Spannungsberechnung unter Annahme des unverformt ebenen Querschnitts wird die im Holzbau unter dem Namen „elastische Verbundtheorie“ bekannte Berechnungsmethode verwendet, wobei für die Querlagen die Annahme $E_{90}$ = 0 bestehen bleibt. Eine Normalspannungsübertragung in den Querlagen (Zug und Druck senkrecht zur Faser) ist aufgrund des Vorhandenseins von Trocknungsrissen und planmäßigen Fugen zwischen den Einzelbrettern nicht möglich, dies rechtfertigt die oben getroffene Annahme ($E_{90}$ = 0). Diese Annahme erfüllt ebenfalls den Grundsatz der auf der „sicheren Seite“ liegenden Bemessung, da eine Gewährleistung der Rissefreiheit eines Brettsperrholzelementes, unabhängig der Herstellungstechnologie, aufgrund der Schwind- und Quelleigenschaften über die Bauwerkslebenszyklus nicht möglich erscheint.

Vergleiche für die maximalen Normal- und Schubspannungen im Querschnitt mit den Ergebnissen aus der exakten Verbundbalkenlösung sind an dieser Stelle nicht angeführt, da die Effekte aus den schubweichen Querlagen für Systeme mit einem Geometrieparameter L/H > 15 nur minimale Auswirkungen ergeben. Für L/H-Verhältnisse von 10, liegen für einen 5-schichtigen Balken bei den Schubspannungen Abweichungen von der exakten Lösung von rund 4 %, bei den Normalspannungen von rund 8 % vor.

Die Normalspannungsverteilung in Abhängigkeit der Dickenkoordinate ist für den ebenen Querschnitt wie folgt definiert:

\begin{equation} \label{eq:eqn_8} \sigma (z) = {M \over {{K_{clt}}}} \cdot z \cdot E(z) \end{equation}

Die Schubspannungsverteilung in Abhängigkeit der Dickenkoordinate ist für den ebenen Querschnitt wie folgt definiert:

\begin{equation} \label{eq:eqn_9} \tau ({z_0}) = {{V \cdot \int\limits_{{A_0}} {E(z) \cdot z \cdot dA} } \over {{K_{clt}} \cdot b({z_0})}} \end{equation}

Für die Bestimmung der Querdruckspannungen für Lasteinleitungen in Brettsperrholzelemente sind grundsätzlich die Regeln nach ON EN 1995-1-1 [2] anzuwenden.

Für linienförmige Querlasteinleitungen in Brettsperrholzplatten (Detail: Wand-Decke) ist die Querdruckspannung nach den Definitionen in ON EN 1995-1-1 [2] mit der Bruttoaufstandsfläche des Brettsperrholz-Wandelementes zu berechnen.

\begin{equation} \label{eq:eqn_10} {\sigma _{c,clt,90,d}} = {{{F_d}} \over {{t_{ef}} \cdot b}} \end{equation}

Die Ermittlung der effektiven Autstandsdicke ist in Abb. 5 gezeigt. Für Aufstandsflächen mit einseitigem Vorholz gelten die Definitionen nach ON EN 1995-1-1 [2] sinngemäß.

Die Bemessung von Brettsperrholzplatten setzt die Kenntnis der charakteristischen Festigkeitskenngrößen für die verschiedenen Beanspruchungsarten voraus. Grundsätzlich orientieren sich die Kenngrößen des Brettsperrholzes an jenen des Brettschichtholzes, welche mit den entsprechenden Sortierklassen des Ausgangsmaterials korrespondieren (S10 → GL 24h). Ergänzend dazu werden beim Modell „BSP-Graz“ sämtliche Festigkeitskenngrößen auf Basis von Versuchen ermittelt, wobei derzeit Kenntnisse zur charakteristischen Biege- und Schubfestigkeit vorliegend sind.

Die Biegefestigkeit $f_{m,clt,k}$ von Brettsperrholz kann, in Anlehnung an die Modellüberlegungen für BSH „BSH-Graz“, durch folgende Beziehung, wie von Jöbstl [3] dargestellt, in Abhängigkeit der verwendeten Ausgangsprodukte beschrieben werden:

\begin{equation} \label{eq:eqn_11} {f_{m,clt,k}} = (1,76 + 5,0 \cdot CO{V_t}) \cdot f_{t,0,l,k}^{0,8} = {a_{clt}} \cdot f_{t,0,l,k}^{0,8} \end{equation}

Die Schubfestigkeit $f_{v,clt,k}$ für die Schubspannungsnachweise in den Längslagen wird im Modell „BSP-GRAZ“ mit 3,0 N/mm² definiert.

Die Rollschubfestigkeit $f_{r,clt,k}$ für die Schubspannungsnachweise in den Querlagen wird gegenüber den Kenngrößen des „Brettschichtholzes“ um 25 % erhöht in Rechnung gestellt. Diese erhöhte Kenngröße lässt sich auf Basis von Versuchsergebnissen begründen und beruht auf dem Systemeffekt.

Querdruckfestigkeit und Querdruckbeiwerte für orthogonal geschichtete Strukturen

Die charakteristische Schichtstruktur einer Brettsperrholzstruktur führt bei punktförmigen Lasteinleitungen zu einer Erhöhung der Querdruckfestigkeit von ca. 15-20 %, siehe [6]. Für die Querdruckbeiwerte, für lokale (punktgestützte Platten) bzw. globale (Linienlagerungen entlang von Wand-Deckenanschlüssen) Lasteinleitungen senkrecht zu Faser, liegen derzeit nur unzureichende Forschungsergebnisse für Brettsperrholz vor, deshalb wird die Verwendung der sortierklassenkonformen Festigkeitskenngrößen für Brettschichtholz sowie den dazugehörigen Querduckbeiwerten $k_{c,90}$-Werte nach ON EN 1995-1-1:2009 [2] empfohlen.

Teilsicherheitsbeiwerte für Brettsperrholz

Aufgrund des Homogenisierungsprozesses im Zuge der Herstellung (Zerlegungen des Stammes zum Einzelbrett mit anschließender Verklebung zu Plattenprodukten) wird der Teilsicherheitsbeiwert für Brettsperrholz für das Modell „BSP-Graz“ in Analogie zum Teilsicherheitsbeiwert für Brettschichtholz mit 1,25 angegeben. Aktuelle Normenwerke (EN 1995-1-1:2009 [2], DIN 1052:2008 [7]), die für eine Bemessung Verwendung finden können, legen den Teilsicherheitsbeiwert mit 1,3 fest.

Derzeit im Rahmen des Modelles „BSP-Graz“ nicht definierte Festigkeitskenngrößen

Die fehlenden Festigkeitskennwerte zur Vervollständigung des Modells „BSP-Graz“ werden derzeit ermittelt, zur Bemessung werden derzeit die Kennwerte der sortierklassenkonformen Brettschichtholzklasse empfohlen.

Sind die in Glg. \eqref{eq:eqn_11} erforderlichen Kennwerte nicht bekannt, lässt sich die Biegefestigkeit $f_{m,clt,k}$ für Brettsperrholz alternativ auf Basis der Kennwerte der sortierklassenkonformen Brettschichtholzklasse wie folgt definieren:

\begin{equation} \label{eq:eqn_12} {f_{m,clt,k}} = {k_l} \cdot {f_{m,glt,k}} \end{equation}

Für Brettsperrholzplatten mit mehreren parallel im Verbund wirkenden Brettern in den normalspannungsbeanspruchten Zonen – gilt speziell für den zugbeanspruchten Bereich – dürfen bei der Nachweisführung um den Systembeiwert $k_l$ erhöhte Biegefestigkeitskenngrößen in Rechnung gestellt werden. Dieses „soziale“ Verhalten von parallel wirkenden Einzelkomponenten mit entsprechender kontinuierlicher Lastverteilung (starre Quer- und Längslagenverklebung) ist aus einschlägigen Normenwerken bekannt.

In Abhängigkeit der in der Zugzone parallel liegenden Bretter ergibt sich der Systembeiwert $k_l$ zu:

\begin{equation} \label{eq:eqn_13} {k_l} = \min \left\{ \matrix{ 1,1 \hfill \cr 1 + 0,025 \cdot n \hfill \cr} \right. \text{ für }n > 1 \end{equation}

Die Anzahl der Bretter kann dabei über die in den Zulassungen der Hersteller angegeben Grenzwerte für die Einzelbrettbreiten (80 < b < 250 mm) berechnet werden. Diese Brettgeometrien stehen auch im Einklang mit den in der DIN 4074:2009 [8] geforderten Abmessungen für Bretter.

Bei Berücksichtigung der oben erwähnten Grenzwerte für die Bretter kann für ein BSP-Element ab einer Breite von rund einem Meter gesichert von einer Brettanzahl ≥ 4 ausgegangen werden, womit der Systembeiwert mit 1,1 in Rechnung gestellt werden darf.

Die Ermittlung der Bemessungswerte der Festigkeitskenngrößen nach ON EN 1990:2004 [9] ist unter Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS) – Nachweise für die ständige und vorübergehende Bemessungssituation gezeigt.

Die Nachweise für die Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit sind für die Durchbiegungen entsprechend ON EN 1995-1-1:2009 [2] zu führen. Die oben erwähnten Einflussgrößen sind dabei zu berücksichtigen.

Dieses Thema wird unter Schwingungen von Brettsperrholzplatten ausführlich behandelt!

Die in ON EN 1995-1-1:2009 [2] angeführten Querschnittsnachweise sowie Stabilitätsnachweise sind auch für Bauteile aus BSP-Elementen zu erfüllen. Aufgrund des geschichteten Querschnittsaufbaues sind folgende Besonderheiten bei der Nachweisführung zusätzlich zu den definierten Nachweisen zu beachten:

Für Normalspannungsnachweise unter reiner Biegung gilt:

Eine Zerlegung der Normalspannungen, wie in der DIN 1052:2008 verankert, in die Spannungsanteile aus „Moment“ und „Normalkraft“ ist nicht erforderlich. Die maximale Rand-Normalspannung ist entsprechend dem Grazer „BSP-Modell“ der – um einen Systemfaktor $k_l$ erhöhten – Biegefestigkeitskenngröße gegenüberzustellen.

Sind die Decklagen des zu bemessenden BSP-Elementes nicht in Richtung der Lastabtragung (1D) orientiert, sind die Rand-Normalspannungsnachweise für die äußersten, in Spannrichtung des Systems orientierten Einzelschichten zu führen, siehe Abb. 6. Dies tritt z. B. bei Plattenbalken- und Rippenplattenquerschnitten auf, bei denen zusätzlich zu Haupttragwirkung in Längsrichtung eine Lastverteilung in Querrichtung des BSP-Elementes nachzuweisen ist. Eine Interaktion der beiden Richtungen kann nach derzeitigem Wissensstand nicht erfasst werden.

Somit ist abweichend von Passagen aus bekannten Normenwerken ausschließlich ein Randspannungsnachweis unter Berücksichtigung des Systembeiwertes zu führen.

\begin{equation} \label{eq:eqn_14} {{{\sigma _{m,Rand,d}}} \over {{f_{m,clt,d}}}} \le 1,0 \end{equation}

Die Randspannungen sind nach Glg. \eqref{eq:eqn_8} unter Verwendung der Querschnittsrandabstände zum Schwerpunkt zu bestimmen.

Für Normalspannungsnachweise für kombinierte Normalkraft- und Momentenbeanspruchung gilt:

Für kombinierte Beanspruchungen werden die in ON EN 1995-1-1:2009 [2] vorgeschlagenen linearen bzw. quadratischen Interaktionsgleichungen empfohlen. Der Interaktionsnachweis ist dabei für das gesamte Schichtenpaket als Randspannungsnachweis zu führen.

Für Schubspannungsnachweise unter reiner Biegung gilt:

Zusätzlich zu den klassischen Schubspannungsnachweisen sind für die Querlagen Schubspannungsnachweise gegenüber der Rollschubfestigkeit zu führen. Die Schubspannungen sind nach Glg. \eqref{eq:eqn_9} für die erforderlichen Querschnittsteile zu bestimmen.

\begin{equation} \label{eq:eqn_15} {{{\tau _d}} \over {{f_{r,clt,d}}}} \le 1,0 \end{equation}