Unterschiede

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--- clt:design:stiffness:stiffness [2017/02/16 16:36]
Alexandra Thiel [Torsionssteifigkeit]
+++ — (aktuell)
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-====== Steifigkeiten ======
-===== Dehnsteifigkeiten =====
-Bei der Berechnung der Dehnsteifigkeiten von BSP-Elementen muss die Schichtorientierung berücksichtigt werden. Somit ergeben sich die Dehnsteifigkeiten in die Richtungen $x$ und $y$ unter der Annahme von $E_{90}$ = 0 und bezogen auf die Breite von 1 m nach Glg. \eqref{eq:eqn_1} bzw. \eqref{eq:eqn_2}, wobei jeweils nur die Schichtdicken berücksichtigt werden, die in die betrachtete Richtung orientiert sind.
-{{ clt:design:stiffness:wandelement.png?300 |5-schichtiges BSP-Element}}
-\begin{equation}
-\label{eq:eqn_1}
-{c_x} = {E_0} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{{n_x}} {{t_{i,x}}}
-\end{equation}
-\begin{equation}
-\label{eq:eqn_2}
-{c_y} = {E_0} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{{n_y}} {{t_{i,y}}}
-\end{equation}
-Es bedeuten:
-| $c_x$		| Dehnsteifigkeit in x-Richtung |
-| $c_y$		| Dehnsteifigkeit in y-Richtung |
-| $E_0$		| Elastizitätsmodul in Faserrichtung |
-| $E_{90}$	| Elastizitätsmodul quer zur Faserrichtung (i. d. R. $E_{90}$ = 0) |
-| $t_{i,x}$	| Dicke der Schicht i mit Faserrichtung in x-Richtung |
-| $t_{j,y}$	| Dicke der Schicht j mit Faserrichtung in y-Richtung |
-===== Biegesteifigkeit bei Belastung normal zur Plattenebene =====
-Die Biegesteifigkeit K<sub>CLT</sub> eines BSP-Elementes wird nach Glg. \eqref{eq:eqn_kclt} berechnet. Die abwechselnde Schichtorientierung und die somit unterschiedlichen Materialeigenschaften sind dabei zu berücksichtigen. Für längslagenorientierte Schichten (α = 0°) ist der E-Modul E<sub>0,mean</sub> und für querlagenorientierte Schichten (α = 90°) der E-Modul E<sub>90,mean</sub> zu verwenden.
-Die Querlagen tragen aufgrund des großen Verhältnisses E<sub>0,mean</sub> / E<sub>90,mean</sub> ≈ 30 nur geringfügig zur Biegesteifigkeit bei und daher kann für die Berechnung E<sub>90,mean</sub> = 0 angesetzt werden.
-<figure abb_cs_5s>
-{{ :clt:design:stiffness:cs_5s.png?450 |5-schichtiger BSP-Querschnitt: Bezeichnungen der Abmessungen und Abstände}}
-<caption>5-schichtiger BSP-Querschnitt: Bezeichnungen der Abmessungen und Abstände</caption>
-</figure>
-\begin{equation}
-\label{eq:eqn_kclt}
-{K_{{\rm{CLT}}}} = \sum {({E_i} \cdot {I_i}) + \sum {({E_i} \cdot {A_i} \cdot {e_i}^2)} }
-\end{equation}
-|$I_i$  |Eigenträgheitsmoment der Schicht $i$  |
-|$E_i$  |E-Modul der Schicht $i$, je nach Orientierung $E_0$ oder $E_{90}$  |
-|$A_i$  |Querschnittsfläche der Schicht $i$  |
-|$e_i$  |Abstand zwischen Schwerpunkt $S_i$ der Schicht $i$ und dem Gesamtschwerpunkt $S$  |
-===== Schubsteifigkeit bei Belastung normal zur Plattenebene =====
-Die Schubsteifigkeit S<sub>CLT</sub> (siehe Glg. \eqref{eq:eqn_sclt}) bei Belastung normal zur Plattenebene ist abhängig von der Schubsteifigkeit des wölbfreien Querschnittes S<sub>tot</sub> nach Glg. \eqref{eq:eqn_stot} und dem Schubkorrekturfaktor κ nach Glg. \eqref{eq:eqn_kappa}.
-Für Längslagen ist dabei der Schubmodul G<sub>CLT,mean</sub> und für die Querlagen der Rollschuhmodul G<sub>r,CLT,mean</sub> zu verwenden.
-\begin{equation}
-\label{eq:eqn_sclt}
-{S_{{\text{CLT}}}} = {S_{{\text{tot}}}} \cdot \kappa
-\end{equation}
-\begin{equation}
-\label{eq:eqn_stot}
-{S_{{\text{tot}}}} = \sum {({G_i} \cdot {b_i} \cdot {t_i}) = \sum {({G_i} \cdot {A_i})} }
-\end{equation}
-\begin{equation}
-\label{eq:eqn_kappa}
-\kappa  = {1 \over {{S_{{\text{tot}}}} \cdot {1 \over {K_{{\text{CLT}}}^2}} \cdot \int\limits_{{t_{CLT}}} {{{{S^2}(z,E(z))} \over {G(z) \cdot b(z)}}{\text{d}}z} }}
-\end{equation}
-|$G_i$  |Schubmodul der Schicht $i$, je nach Orientierung $G$ oder $G_r$  |
-|$b_i$  |Breite der Schicht $i$  |
-|$t_i$  |Dicke der Schicht $i$  |
-|$S(z,E(z))$  |Statisches Moment in Abhängigkeit der $z$-Koordinate  |
-|$G(z)$  |Schubmodul in Abhängigkeit der $z$-Koordinate  |
-|$b(z)$  |Breite des Querschnitts in Abhängigkeit der $z$-Koordinate  |
-In Abb. {{ref>abb_kappa}} ist der Schubkorrekturfaktor in Abhängigkeit des Verhältnisses t<sub>0</sub> / t<sub>CLT</sub> dargestellt. Es werden die analytische Lösung für 3-, 5- und 7-schichtige Aufbauten sowie die derzeitig am Markt befindlichen BSP-Produkte gegenübergestellt. Durch den Einfluss der schubnachgiebigen Querlagen ist der Schubkorrekturfaktor der derzeitig existierenden BSP-Produkte nahezu konstant und bei einem Verhältnis von G / G<sub>r</sub> = 10 in etwa ¼ eines rechteckigen Querschnittes mit nur Längslagen, wie z.B. Vollholz oder Brettschichtholz.
-In der Berechnung des Schubkorrekturfaktors nach Glg. \eqref{eq:eqn_kappa} werden keine unterschiedlichen Brettbreiten und Fugen zwischen den Brettern berücksichtigt. In [(:ref:feichter_2013)] wird jedoch gezeigt, dass diese beiden Parameter einen Einfluss haben. Der Schubkorrekturfaktor kann sich dadurch um ca. 10 % bis 15 % verringern.
-<figure abb_kappa>
-{{ :clt:design:stiffness:kappa.png?450 |Schubkorrekturfaktor}}
-<caption>Schubkorrekturfaktor bei einem Verhältnis G / G<sub>r</sub> = 10 in Abhängigkeit des Verhältnisses t<sub>0</sub> / t<sub>CLT</sub> – analytische Lösung und aktuelle Produkte; berechnet mit dem CLTdesigner; t<sub>0</sub> ist die Summe aller Schichtdicken mit α = 0°</caption>
-</figure>
-===== Schubsteifigkeit bei Belastung in Scheibenebene =====
-Die Schubsteifigkeit $c_{xy}$ einer BSP-Scheibe ergibt sich nach Glg. \eqref{eq:eqn_3} als Produkt des effektiven Schubmoduls $G^*$ und der Gesamtdicke $t_{CLT}$. Der effektive Schubmodul wird nach Glg. \eqref{eq:eqn_4} berechnet.
-\begin{equation}
-\label{eq:eqn_3}
-{c_{xy}} = {G^ * } \cdot {t_{CLT}}
-\end{equation}
-mit
-\begin{equation}
-\label{eq:eqn_4}
-{G^ * } = {{{G_0}} \over {1 + 6 \cdot {p_S} \cdot {{\left( {{t \over a}} \right)}^{{q_S}}}}}
-\end{equation}
-und q<sub>S</sub> = 1,21 sowie p<sub>S</sub> = 0,53 für 3-schichtige und p<sub>S</sub> = 0,43 für 5- und 7-schichtige BSP-Scheiben (gültig für G<sub>0</sub> / G<sub>90</sub> = 10)
-Die Faktoren q<sub>S</sub> und p<sub>S</sub> wurden im Zuge einer [[clt:design:stiffness:da_silly|FE-Studie]] [(:ref:silly_2010)] ermittelt und sind u.a. in [[https://shop.austrian-standards.at/search/FastSearch.action?newSearch=&searchTerm=OENORM+B+1995-1-1|ON B 1995-1-1:2014 11 15]] verankert.
-Es bedeuten:
-|$c_{xy}$	|Schubsteifigkeit einer BSP-Scheibe|
-|$G^*$	|effektiver Schubmodul|
-|$G_0$	|Schubmodul|
-|$t_{CLT}$	|Gesamtdicke der BSP-Scheibe|
-|$t$	|mittlere Schichtdicke ($t$ = $t_{CLT}/n$)|
-|$a$	|Brettbreite (i. Allg. $a$ = 150 mm)|
-===== Drillsteifigkeit =====
-In [(:ref:silly_2010)] wird die Drillsteifigkeit D<sub>xy</sub> einer homogenen Platte mit orthotropem Material nach Glg. \eqref{eq:eqn_dxy} angegeben, wobei der Schubmodul G<sub>xy</sub> über die gesamte Dicke t konstant sein muss. Im Fall von Brettsperrholz trifft dies nur für schmalseitenverklebte, völlig rissfreie Produkte zu. Ist dies nicht der Fall, muss eine Abminderung nach Glg. \eqref{eq:eqn_dxy_stern} bzw. \eqref{eq:eqn_kappa_clt_p} in Abhängigkeit der Schichtanzahl und der Brettgeometrie vorgenommen werden. Diese Abminderungsfunktion wurde in [(:ref:silly_2010)] anhand einer FE-Studie ermittelt. Die Parameter p und q sind der Tab. {{ref>tab_p_q}} zu entnehmen. Für Platten mit unterschiedlichen Schichtdicken kann näherungsweise mit einer mittleren Schichtdicke gerechnet werden.
-\begin{equation}
-\label{eq:eqn_dxy}
-{D_{xy}} = {G_{xy}} \cdot {{t_{CLT}^3} \over {12}}
-\end{equation}
-\begin{equation}
-\label{eq:eqn_dxy_stern}
-D_{xy}^* = {\kappa _{CLT,P}} \cdot {D_{xy}}
-\end{equation}
-\begin{equation}
-\label{eq:eqn_kappa_clt_p}
-{\kappa _{CLT,P}} = {1 \over {1 + 6 \cdot {\alpha _{FIT}} \cdot {{\left( {{t \over a}} \right)}^2}}}
-\end{equation}
-\begin{equation}
-\label{eq:eqn_alpha_fit}
-{\alpha _{FIT}} = p \cdot {\left( {{t \over a}} \right)^q}
-\end{equation}
-|$D_{xy}$  |Drillsteifigkeit einer homogenen Platte mit orthotropem Material oder schmalseitenverklebte BSP-Platten ohne Risse  |
-|$D_{xy}^*$  |reduzierte Drillsteifigkeit für BSP-Platten ohne Schmalseitenverklebung  |
-|$\kappa_{CLT,P}$  |Reduktionsfaktor zur Abminderung der Plattendrillsteifigkeit  |
-|$t$  |Brettdicke  |
-|$a$  |Brettbreite  |
-<table tab_p_q>
-<caption>Anpassungsparameter p und q für 3-, 5- und 7-schichtige BSP-Elemente</caption>
-^  Parameter  ^  3-schichtig  ^  5-schichtig  ^  7-schichtig  ^
-^  p  |  0,89  |  0,67  |  0,55  |
-^  q  |  -0,67  |  -0,74  |  -0,77  |
-</table>
-Die Abhängigkeit der Reduktionsfaktoren von t/a ist in Tab. {{ref>tab_kappa_clt_p}} dargestellt.
-<table tab_kappa_clt_p>
-<caption>Reduktionsfaktor κ<sub>CLT,P</sub></caption>
-^  t/a  ^  κ<sub>CLT,P</sub>  ^^^
-^  :::  ^  3-schichtig  ^  5-schichtig  ^  7-schichtig  ^
-^  1:6  |  0,67  |  0,70  |  0,73  |
-^  1:5  |  0,61  |  0,65  |  0,69  |
-^  1:4  |  0,54  |  0,59  |  0,63  |
-^  1:3  |  0,45  |  0,50  |  0,54  |
-</table>
-===== Torsionssteifigkeit =====
-In [(:ref:krenn_moosbrugger_bogensperger_2016)] wird die Torsionssteifigkeit eines BSP-Trägers nach Glg. \eqref{eq:torsionsteifigkeit} (Näherungslösung; siehe auch [[mechanics:torsion|Torsionsträgheitsmoment eines Rechteckquerschnitts]]) angegeben. $\left( {1 - 0,63 \cdot {{{t_\text{CLT}}} \over h}} \right)$ beschreibt dabei die näherungsweise Berücksichtigung von Wölbeffekten.
-\begin{equation}
-\label{eq:torsionsteifigkeit}
-G{I_\text{tor}} = 4 \cdot D_\text{xy}^* \cdot h \cdot \left( {1 - 0,63 \cdot {{{t_\text{CLT}}} \over h}} \right)
-\end{equation}
-<showif mayedit>
-FIXME <todo @athiel username:real>Diskussion mit TB: Vergleich Trägerrostmodell mit Drillsteifigkeit!</todo>
-</showif>
-|$h$  |Höhe des BSP-Trägers  |
-|$D_\text{xy}^*$  |[[clt:design:stiffness:stiffness#drillsteifigkeit|Drillsteifigkeit]]  |
-===== Referenzen =====