Zeige Quelltext Ältere Versionen Links hierher Zu Buch hinzufügen PDF exportieren Seite umbenennen Inhaltsverzeichnis Steifigkeiten Dehnsteifigkeiten Biegesteifigkeit bei Belastung normal zur Plattenebene Schubsteifigkeit bei Belastung normal zur Plattenebene Schubsteifigkeit bei Belastung in Scheibenebene Drillsteifigkeit Torsionssteifigkeit Referenzen Die aktuellste Version dieses Dokuments ist ein Entwurf.Diese Version (2017/02/16 16:36) ist ein Entwurf. Überprüfungen: 0/1Die zuvor bestätigte Version (2015/06/11 06:26) ist verfügbar. Dies ist eine alte Version des Dokuments! Steifigkeiten Dehnsteifigkeiten Bei der Berechnung der Dehnsteifigkeiten von BSP-Elementen muss die Schichtorientierung berücksichtigt werden. Somit ergeben sich die Dehnsteifigkeiten in die Richtungen $x$ und $y$ unter der Annahme von $E_{90}$ = 0 und bezogen auf die Breite von 1 m nach Glg. \eqref{eq:eqn_1} bzw. \eqref{eq:eqn_2}, wobei jeweils nur die Schichtdicken berücksichtigt werden, die in die betrachtete Richtung orientiert sind. \begin{equation} \label{eq:eqn_1} {c_x} = {E_0} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{{n_x}} {{t_{i,x}}} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:eqn_2} {c_y} = {E_0} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{{n_y}} {{t_{i,y}}} \end{equation} Es bedeuten: $c_x$ Dehnsteifigkeit in x-Richtung $c_y$ Dehnsteifigkeit in y-Richtung $E_0$ Elastizitätsmodul in Faserrichtung $E_{90}$ Elastizitätsmodul quer zur Faserrichtung (i. d. R. $E_{90}$ = 0) $t_{i,x}$ Dicke der Schicht i mit Faserrichtung in x-Richtung $t_{j,y}$ Dicke der Schicht j mit Faserrichtung in y-Richtung Biegesteifigkeit bei Belastung normal zur Plattenebene Die Biegesteifigkeit KCLT eines BSP-Elementes wird nach Glg. \eqref{eq:eqn_kclt} berechnet. Die abwechselnde Schichtorientierung und die somit unterschiedlichen Materialeigenschaften sind dabei zu berücksichtigen. Für längslagenorientierte Schichten (α = 0°) ist der E-Modul E0,mean und für querlagenorientierte Schichten (α = 90°) der E-Modul E90,mean zu verwenden. Die Querlagen tragen aufgrund des großen Verhältnisses E0,mean / E90,mean ≈ 30 nur geringfügig zur Biegesteifigkeit bei und daher kann für die Berechnung E90,mean = 0 angesetzt werden. Abb. 1: 5-schichtiger BSP-Querschnitt: Bezeichnungen der Abmessungen und Abstände \begin{equation} \label{eq:eqn_kclt} {K_{{\rm{CLT}}}} = \sum {({E_i} \cdot {I_i}) + \sum {({E_i} \cdot {A_i} \cdot {e_i}^2)} } \end{equation} $I_i$ Eigenträgheitsmoment der Schicht $i$ $E_i$ E-Modul der Schicht $i$, je nach Orientierung $E_0$ oder $E_{90}$ $A_i$ Querschnittsfläche der Schicht $i$ $e_i$ Abstand zwischen Schwerpunkt $S_i$ der Schicht $i$ und dem Gesamtschwerpunkt $S$ Schubsteifigkeit bei Belastung normal zur Plattenebene Die Schubsteifigkeit SCLT (siehe Glg. \eqref{eq:eqn_sclt}) bei Belastung normal zur Plattenebene ist abhängig von der Schubsteifigkeit des wölbfreien Querschnittes Stot nach Glg. \eqref{eq:eqn_stot} und dem Schubkorrekturfaktor κ nach Glg. \eqref{eq:eqn_kappa}. Für Längslagen ist dabei der Schubmodul GCLT,mean und für die Querlagen der Rollschuhmodul Gr,CLT,mean zu verwenden. \begin{equation} \label{eq:eqn_sclt} {S_{{\text{CLT}}}} = {S_{{\text{tot}}}} \cdot \kappa \end{equation} \begin{equation} \label{eq:eqn_stot} {S_{{\text{tot}}}} = \sum {({G_i} \cdot {b_i} \cdot {t_i}) = \sum {({G_i} \cdot {A_i})} } \end{equation} \begin{equation} \label{eq:eqn_kappa} \kappa = {1 \over {{S_{{\text{tot}}}} \cdot {1 \over {K_{{\text{CLT}}}^2}} \cdot \int\limits_{{t_{CLT}}} {{{{S^2}(z,E(z))} \over {G(z) \cdot b(z)}}{\text{d}}z} }} \end{equation} $G_i$ Schubmodul der Schicht $i$, je nach Orientierung $G$ oder $G_r$ $b_i$ Breite der Schicht $i$ $t_i$ Dicke der Schicht $i$ $S(z,E(z))$ Statisches Moment in Abhängigkeit der $z$-Koordinate $G(z)$ Schubmodul in Abhängigkeit der $z$-Koordinate $b(z)$ Breite des Querschnitts in Abhängigkeit der $z$-Koordinate In Abb. 2 ist der Schubkorrekturfaktor in Abhängigkeit des Verhältnisses t0 / tCLT dargestellt. Es werden die analytische Lösung für 3-, 5- und 7-schichtige Aufbauten sowie die derzeitig am Markt befindlichen BSP-Produkte gegenübergestellt. Durch den Einfluss der schubnachgiebigen Querlagen ist der Schubkorrekturfaktor der derzeitig existierenden BSP-Produkte nahezu konstant und bei einem Verhältnis von G / Gr = 10 in etwa ¼ eines rechteckigen Querschnittes mit nur Längslagen, wie z.B. Vollholz oder Brettschichtholz. In der Berechnung des Schubkorrekturfaktors nach Glg. \eqref{eq:eqn_kappa} werden keine unterschiedlichen Brettbreiten und Fugen zwischen den Brettern berücksichtigt. In [1] wird jedoch gezeigt, dass diese beiden Parameter einen Einfluss haben. Der Schubkorrekturfaktor kann sich dadurch um ca. 10 % bis 15 % verringern. Abb. 2: Schubkorrekturfaktor bei einem Verhältnis G / Gr = 10 in Abhängigkeit des Verhältnisses t0 / tCLT – analytische Lösung und aktuelle Produkte; berechnet mit dem CLTdesigner; t0 ist die Summe aller Schichtdicken mit α = 0° Schubsteifigkeit bei Belastung in Scheibenebene Die Schubsteifigkeit $c_{xy}$ einer BSP-Scheibe ergibt sich nach Glg. \eqref{eq:eqn_3} als Produkt des effektiven Schubmoduls $G^*$ und der Gesamtdicke $t_{CLT}$. Der effektive Schubmodul wird nach Glg. \eqref{eq:eqn_4} berechnet. \begin{equation} \label{eq:eqn_3} {c_{xy}} = {G^ * } \cdot {t_{CLT}} \end{equation} mit \begin{equation} \label{eq:eqn_4} {G^ * } = {{{G_0}} \over {1 + 6 \cdot {p_S} \cdot {{\left( {{t \over a}} \right)}^{{q_S}}}}} \end{equation} und qS = 1,21 sowie pS = 0,53 für 3-schichtige und pS = 0,43 für 5- und 7-schichtige BSP-Scheiben (gültig für G0 / G90 = 10) Die Faktoren qS und pS wurden im Zuge einer FE-Studie [2] ermittelt und sind u.a. in ON B 1995-1-1:2014 11 15 verankert. Es bedeuten: $c_{xy}$ Schubsteifigkeit einer BSP-Scheibe $G^*$ effektiver Schubmodul $G_0$ Schubmodul $t_{CLT}$ Gesamtdicke der BSP-Scheibe $t$ mittlere Schichtdicke ($t$ = $t_{CLT}/n$) $a$ Brettbreite (i. Allg. $a$ = 150 mm) Drillsteifigkeit In [2] wird die Drillsteifigkeit Dxy einer homogenen Platte mit orthotropem Material nach Glg. \eqref{eq:eqn_dxy} angegeben, wobei der Schubmodul Gxy über die gesamte Dicke t konstant sein muss. Im Fall von Brettsperrholz trifft dies nur für schmalseitenverklebte, völlig rissfreie Produkte zu. Ist dies nicht der Fall, muss eine Abminderung nach Glg. \eqref{eq:eqn_dxy_stern} bzw. \eqref{eq:eqn_kappa_clt_p} in Abhängigkeit der Schichtanzahl und der Brettgeometrie vorgenommen werden. Diese Abminderungsfunktion wurde in [2] anhand einer FE-Studie ermittelt. Die Parameter p und q sind der Tab. 1 zu entnehmen. Für Platten mit unterschiedlichen Schichtdicken kann näherungsweise mit einer mittleren Schichtdicke gerechnet werden. \begin{equation} \label{eq:eqn_dxy} {D_{xy}} = {G_{xy}} \cdot {{t_{CLT}^3} \over {12}} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:eqn_dxy_stern} D_{xy}^* = {\kappa _{CLT,P}} \cdot {D_{xy}} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:eqn_kappa_clt_p} {\kappa _{CLT,P}} = {1 \over {1 + 6 \cdot {\alpha _{FIT}} \cdot {{\left( {{t \over a}} \right)}^2}}} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:eqn_alpha_fit} {\alpha _{FIT}} = p \cdot {\left( {{t \over a}} \right)^q} \end{equation} $D_{xy}$ Drillsteifigkeit einer homogenen Platte mit orthotropem Material oder schmalseitenverklebte BSP-Platten ohne Risse $D_{xy}^*$ reduzierte Drillsteifigkeit für BSP-Platten ohne Schmalseitenverklebung $\kappa_{CLT,P}$ Reduktionsfaktor zur Abminderung der Plattendrillsteifigkeit $t$ Brettdicke $a$ Brettbreite Tab. 1: Anpassungsparameter p und q für 3-, 5- und 7-schichtige BSP-Elemente Parameter 3-schichtig 5-schichtig 7-schichtig p 0,89 0,67 0,55 q -0,67 -0,74 -0,77 Die Abhängigkeit der Reduktionsfaktoren von t/a ist in Tab. 2 dargestellt. Tab. 2: Reduktionsfaktor κCLT,P t/a κCLT,P 3-schichtig 5-schichtig 7-schichtig 1:6 0,67 0,70 0,73 1:5 0,61 0,65 0,69 1:4 0,54 0,59 0,63 1:3 0,45 0,50 0,54 Torsionssteifigkeit In [3] wird die Torsionssteifigkeit eines BSP-Trägers nach Glg. \eqref{eq:torsionsteifigkeit} (Näherungslösung; siehe auch Torsionsträgheitsmoment eines Rechteckquerschnitts) angegeben. $\left( {1 - 0,63 \cdot {{{t_\text{CLT}}} \over h}} \right)$ beschreibt dabei die näherungsweise Berücksichtigung von Wölbeffekten. \begin{equation} \label{eq:torsionsteifigkeit} G{I_\text{tor}} = 4 \cdot D_\text{xy}^* \cdot h \cdot \left( {1 - 0,63 \cdot {{{t_\text{CLT}}} \over h}} \right) \end{equation} [Alexandra Thiel]Diskussion mit TB: Vergleich Trägerrostmodell mit Drillsteifigkeit! $h$ Höhe des BSP-Trägers $D_\text{xy}^*$ Drillsteifigkeit Referenzen