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Steifigkeiten

Bei der Berechnung der Dehnsteifigkeiten von BSP-Elementen muss die Schichtorientierung berücksichtigt werden. Somit ergeben sich die Dehnsteifigkeiten in die Richtungen $x$ und $y$ unter der Annahme von $E_{90}$ = 0 und bezogen auf die Breite von 1 m nach Glg. \eqref{eq:eqn_1} bzw. \eqref{eq:eqn_2}, wobei jeweils nur die Schichtdicken berücksichtigt werden, die in die betrachtete Richtung orientiert sind.

5-schichtiges BSP-Element \begin{equation} \label{eq:eqn_1} {c_x} = {E_0} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{{n_x}} {{t_{i,x}}} \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:eqn_2} {c_y} = {E_0} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{{n_y}} {{t_{i,y}}} \end{equation}

Es bedeuten:

$c_x$ Dehnsteifigkeit in x-Richtung
$c_y$ Dehnsteifigkeit in y-Richtung
$E_0$ Elastizitätsmodul in Faserrichtung
$E_{90}$ Elastizitätsmodul quer zur Faserrichtung (i. d. R. $E_{90}$ = 0)
$t_{i,x}$ Dicke der Schicht i mit Faserrichtung in x-Richtung
$t_{j,y}$ Dicke der Schicht j mit Faserrichtung in y-Richtung

Die Biegesteifigkeit KCLT eines BSP-Elementes wird nach Glg. \eqref{eq:eqn_kclt} berechnet. Die abwechselnde Schichtorientierung und die somit unterschiedlichen Materialeigenschaften sind dabei zu berücksichtigen. Für längslagenorientierte Schichten (α = 0°) ist der E-Modul E0,mean und für querlagenorientierte Schichten (α = 90°) der E-Modul E90,mean zu verwenden.

Die Querlagen tragen aufgrund des großen Verhältnisses E0,mean / E90,mean ≈ 30 nur geringfügig zur Biegesteifigkeit bei und daher kann für die Berechnung E90,mean = 0 angesetzt werden.

5-schichtiger BSP-Querschnitt: Bezeichnungen der Abmessungen und Abstände
Abb. 1: 5-schichtiger BSP-Querschnitt: Bezeichnungen der Abmessungen und Abstände

\begin{equation} \label{eq:eqn_kclt} {K_{{\rm{CLT}}}} = \sum {({E_i} \cdot {I_i}) + \sum {({E_i} \cdot {A_i} \cdot {e_i}^2)} } \end{equation}

$I_i$ Eigenträgheitsmoment der Schicht $i$
$E_i$ E-Modul der Schicht $i$, je nach Orientierung $E_0$ oder $E_{90}$
$A_i$ Querschnittsfläche der Schicht $i$
$e_i$ Abstand zwischen Schwerpunkt $S_i$ der Schicht $i$ und dem Gesamtschwerpunkt $S$

Die Schubsteifigkeit SCLT (siehe Glg. \eqref{eq:eqn_sclt}) bei Belastung normal zur Plattenebene ist abhängig von der Schubsteifigkeit des wölbfreien Querschnittes Stot nach Glg. \eqref{eq:eqn_stot} und dem Schubkorrekturfaktor κ nach Glg. \eqref{eq:eqn_kappa}. Für Längslagen ist dabei der Schubmodul GCLT,mean und für die Querlagen der Rollschuhmodul Gr,CLT,mean zu verwenden.

\begin{equation} \label{eq:eqn_sclt} {S_{{\text{CLT}}}} = {S_{{\text{tot}}}} \cdot \kappa \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:eqn_stot} {S_{{\text{tot}}}} = \sum {({G_i} \cdot {b_i} \cdot {t_i}) = \sum {({G_i} \cdot {A_i})} } \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:eqn_kappa} \kappa = {1 \over {{S_{{\text{tot}}}} \cdot {1 \over {K_{{\text{CLT}}}^2}} \cdot \int\limits_{{t_{CLT}}} {{{{S^2}(z,E(z))} \over {G(z) \cdot b(z)}}{\text{d}}z} }} \end{equation}

$G_i$ Schubmodul der Schicht $i$, je nach Orientierung $G$ oder $G_r$
$b_i$ Breite der Schicht $i$
$t_i$ Dicke der Schicht $i$
$S(z,E(z))$ Statisches Moment in Abhängigkeit der $z$-Koordinate
$G(z)$ Schubmodul in Abhängigkeit der $z$-Koordinate
$b(z)$ Breite des Querschnitts in Abhängigkeit der $z$-Koordinate

In Abb. 2 ist der Schubkorrekturfaktor in Abhängigkeit des Verhältnisses t0 / tCLT dargestellt. Es werden die analytische Lösung für 3-, 5- und 7-schichtige Aufbauten sowie die derzeitig am Markt befindlichen BSP-Produkte gegenübergestellt. Durch den Einfluss der schubnachgiebigen Querlagen ist der Schubkorrekturfaktor der derzeitig existierenden BSP-Produkte nahezu konstant und bei einem Verhältnis von G / Gr = 10 in etwa ¼ eines rechteckigen Querschnittes mit nur Längslagen, wie z.B. Vollholz oder Brettschichtholz.

In der Berechnung des Schubkorrekturfaktors nach Glg. \eqref{eq:eqn_kappa} werden keine unterschiedlichen Brettbreiten und Fugen zwischen den Brettern berücksichtigt. In [1] wird jedoch gezeigt, dass diese beiden Parameter einen Einfluss haben. Der Schubkorrekturfaktor kann sich dadurch um ca. 10 % bis 15 % verringern.

Schubkorrekturfaktor
Abb. 2: Schubkorrekturfaktor bei einem Verhältnis G / Gr = 10 in Abhängigkeit des Verhältnisses t0 / tCLT – analytische Lösung und aktuelle Produkte; berechnet mit dem CLTdesigner; t0 ist die Summe aller Schichtdicken mit α = 0°

Die Schubsteifigkeit $c_{xy}$ einer BSP-Scheibe ergibt sich nach Glg. \eqref{eq:eqn_3} als Produkt des effektiven Schubmoduls $G^*$ und der Gesamtdicke $t_{CLT}$. Der effektive Schubmodul wird nach Glg. \eqref{eq:eqn_4} berechnet.

\begin{equation} \label{eq:eqn_3} {c_{xy}} = {G^ * } \cdot {t_{CLT}} \end{equation}

mit

\begin{equation} \label{eq:eqn_4} {G^ * } = {{{G_0}} \over {1 + 6 \cdot {p_S} \cdot {{\left( {{t \over a}} \right)}^{{q_S}}}}} \end{equation}

und qS = 1,21 sowie pS = 0,53 für 3-schichtige und pS = 0,43 für 5- und 7-schichtige BSP-Scheiben (gültig für G0 / G90 = 10)

Die Faktoren qS und pS wurden im Zuge einer FE-Studie [2] ermittelt und sind u.a. in ON B 1995-1-1:2014 11 15 verankert.

Es bedeuten:

$c_{xy}$ Schubsteifigkeit einer BSP-Scheibe
$G^*$ effektiver Schubmodul
$G_0$ Schubmodul
$t_{CLT}$ Gesamtdicke der BSP-Scheibe
$t$ mittlere Schichtdicke ($t$ = $t_{CLT}/n$)
$a$ Brettbreite (i. Allg. $a$ = 150 mm)

In [2] wird die Drillsteifigkeit Dxy einer homogenen Platte mit orthotropem Material nach Glg. \eqref{eq:eqn_dxy} angegeben, wobei der Schubmodul Gxy über die gesamte Dicke t konstant sein muss. Im Fall von Brettsperrholz trifft dies nur für schmalseitenverklebte, völlig rissfreie Produkte zu. Ist dies nicht der Fall, muss eine Abminderung nach Glg. \eqref{eq:eqn_dxy_stern} bzw. \eqref{eq:eqn_kappa_clt_p} in Abhängigkeit der Schichtanzahl und der Brettgeometrie vorgenommen werden. Diese Abminderungsfunktion wurde in [2] anhand einer FE-Studie ermittelt. Die Parameter p und q sind der Tab. 1 zu entnehmen. Für Platten mit unterschiedlichen Schichtdicken kann näherungsweise mit einer mittleren Schichtdicke gerechnet werden.

\begin{equation} \label{eq:eqn_dxy} {D_{xy}} = {G_{xy}} \cdot {{t_{CLT}^3} \over {12}} \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:eqn_dxy_stern} D_{xy}^* = {\kappa _{CLT,P}} \cdot {D_{xy}} \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:eqn_kappa_clt_p} {\kappa _{CLT,P}} = {1 \over {1 + 6 \cdot {\alpha _{FIT}} \cdot {{\left( {{t \over a}} \right)}^2}}} \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:eqn_alpha_fit} {\alpha _{FIT}} = p \cdot {\left( {{t \over a}} \right)^q} \end{equation}

$D_{xy}$ Drillsteifigkeit einer homogenen Platte mit orthotropem Material oder schmalseitenverklebte BSP-Platten ohne Risse
$D_{xy}^*$ reduzierte Drillsteifigkeit für BSP-Platten ohne Schmalseitenverklebung
$\kappa_{CLT,P}$ Reduktionsfaktor zur Abminderung der Plattendrillsteifigkeit
$t$ Brettdicke
$a$ Brettbreite
Tab. 1: Anpassungsparameter p und q für 3-, 5- und 7-schichtige BSP-Elemente
Parameter 3-schichtig 5-schichtig 7-schichtig
p 0,89 0,67 0,55
q -0,67 -0,74 -0,77

Die Abhängigkeit der Reduktionsfaktoren von t/a ist in Tab. 2 dargestellt.

Tab. 2: Reduktionsfaktor κCLT,P
t/a κCLT,P
3-schichtig 5-schichtig 7-schichtig
1:6 0,67 0,70 0,73
1:5 0,61 0,65 0,69
1:4 0,54 0,59 0,63
1:3 0,45 0,50 0,54

In [3] wird die Torsionssteifigkeit eines BSP-Trägers nach Glg. \eqref{eq:torsionsteifigkeit} (Näherungslösung; siehe auch Torsionsträgheitsmoment eines Rechteckquerschnitts) angegeben. $\left( {1 - 0,63 \cdot {{{t_\text{CLT}}} \over h}} \right)$ beschreibt dabei die näherungsweise Berücksichtigung von Wölbeffekten.

\begin{equation} \label{eq:torsionsteifigkeit} G{I_\text{tor}} = 4 \cdot D_\text{xy}^* \cdot h \cdot \left( {1 - 0,63 \cdot {{{t_\text{CLT}}} \over h}} \right) \end{equation}

FIXME [Alexandra Thiel]Diskussion mit TB: Vergleich Trägerrostmodell mit Drillsteifigkeit!

$h$ Höhe des BSP-Trägers
$D_\text{xy}^*$ Drillsteifigkeit