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Schwingungen (Belastung normal zur Plattenebene)

Bei Brettsperrholz-Platten mit einer Spannweite über 4 m wird meist der Schwingungsnachweis maßgebend. Für diesen Nachweis existieren derzeit unterschiedliche Prozedere und Grenzwerte. Im Rahmen eines Projektes der holz.bau forschungs gmbh [1] wurden der Schwingungsnachweis nach Eurocode 5, die Empfehlungen von Hamm / Richter und eine modifizierte Form davon sowie der kanadische Vorschlag von Hu anhand einer Parameterstudie (Einfeldträger mit Stützweiten von 3 bis 7 m unter Eigengewicht, ständiger Last sowie Nutzlast der Kategorie A) untersucht, wesentliche Parameter herausgefiltert und die Ergebnisse verglichen. Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass die einzelnen Nachweise deutlich unterschiedliche Ergebnisse liefern, da u.a. die Grenzwerte auf subjektiven Einschätzungen der jeweiligen Testperson beruhen. Welches der Verfahren am Besten geeignet ist, darüber kann keine Aussage getroffen werden. Daher ist es wichtig, dass in einem nächsten Schritt vorhandene Messergebnisse mit den einzelnen Verfahren und deren Grenzwerten untersucht werden. Ein weiterer, besonders wichtiger Punkt betrifft die Abklärung des Einflusses der Lagerungsbedingungen – gelenkig, teileingespannt, eingespannt sowie z.B. Lagerung der Decke auf einem Unterzug und Einfluss der Wandlasten auf den Einspanngrad. Derartige Untersuchungen sind zur Zeit am Kompetenzzentrum holz.bau forschungs gmbh am Laufen.

Im CLTdesigner sind derzeit folgenden Prozedere implementiert:

  • Nachweis nach EN 1995-1-1 [2]
  • Empfehlungen von Hamm / Richter im BSPhandbuch [3]
  • Modifizierte Form von Hamm / Richter (siehe [1])

Bei diesen Methoden sind in erster Linie die Eigenfrequenz, das Steifigkeitskriterium und die Schwingbeschleunigung zu überprüfen. Im Eurocode [2] wird des weiteren noch die Überprüfung der Schwinggeschwindigkeit gefordert. Dieser Nachweis ist hauptsächlich bei sehr leichten Decken erforderlich und kann daher für Decken aus Brettsperrholz entfallen.

Die Eigenfrequenz eines Einfeldträgers f1,beam kann nach Glg. \eqref{eq:eqn_f1beam} berechnet werden.

\begin{equation} \label{eq:eqn_f1beam} {f_{1,beam}} = {{{k_m}} \over {2\pi \cdot {l^2}}}\sqrt {{{{{\left( {EI} \right)}_{l,ef}}} \over {\bar m}}} {\rm{ }}\left[ {Hz} \right] \end{equation}

(EI)l,ef effektive Längsbiegesteifigkeit

Die effektive Längsbiegesteifigkeit setzt sich aus der Biegesteifigkeit der BSP-Platte KCLT und der Biegesteifigkeit eines eventuell vorhandenen Estrichs ohne Verbundwirkung (nur Anteil Eigenträgheitsmoment – d.h. ohne Steiner'sche Anteile) zusammen. Weiters kann hier auch die Schubnachgiebigkeit berücksichtigt werden, indem die scheinbare Biegesteifigkeit (basierend auf Biege- und Schubverformung) statt KCLT verwendet wird.

Der Faktor km berücksichtigt unterschiedliche Lagerungsbedingungen und Eigenformen. In [4] werden folgende Werte für die 1. Eigenform (m = 1) angegeben:

Tab. 1: Faktor km zur Berücksichtigung unterschiedlicher Lagerungsbedingungen für die 1. Eigenform (Quelle: [4])
Lagerbedingung km
Beidseits ideal gelenkig gelagert π2 = 9,87
Beidseits eingespannt 22,4
Eingespannt / frei (Kragarm) 3,52

Für mehrfeldrige Decken kann die Durchlaufwirkung berücksichtigt werden. Dies kann z.B. durch den Faktor kf,2 nach Glg. \eqref{eq:eqn_kf2} erfolgen. Je nach Stützweitenverhältnis lmin / lmax liegt dieser Faktor zwischen 1,0 und 1,5.

\begin{equation} \label{eq:eqn_kf2} \displaylines{ {k_{{f_2}}} = - 5,3828{\left( {{{{l_{\min }}} \over {{l_{\max }}}}} \right)^6} + 16,6637{\left( {{{{l_{\min }}} \over {{l_{\max }}}}} \right)^5} - 19,7305{\left( {{{{l_{\min }}} \over {{l_{\max }}}}} \right)^4} + 10,3840{\left( {{{{l_{\min }}} \over {{l_{\max }}}}} \right)^3} \cr - 1,9017{\left( {{{{l_{\min }}} \over {{l_{\max }}}}} \right)^2} - 0,5879\left( {{{{l_{\min }}} \over {{l_{\max }}}}} \right) + 1,5537 \cr} \end{equation}

Eine weitere Möglichkeit ist die Berechnung der Eigenfrequenz nach der Methode von Morleigh (siehe [5]) – mit der Eigengewichtsbiegelinie als Näherungsfunktion für die Grundschwingungsform. Mit diesem Verfahren können neben dem Biegemomenteneinfluss auch andere Einflüsse wie z.B. die Schubnachgiebigkeit oder eine elastische Einspannung in die Berechnung mit aufgenommen werden. Da die Schubnachgiebigkeit bei Brettsperrholz eine sehr große Rolle spielt, sollte sie unbedingt auch bei der Schwingungsberechnung mitberücksichtigt werden.

Wird die Platte umfangsgelagert, darf die Plattentragwirkung berücksichtigt werden und die Eigenfrequenz berechnet sich nach Glg. \eqref{eq:eqn_f1plate}. Dabei wird sowohl die Drillsteifigkeit nach dieser Glg. für $D_{xy}^*$ als auch die Querbiegesteifigkeit der BSP-Elemente berücksichtigt. Die Erhöhung der Eigenfrequenz ist dabei auch noch sehr stark vom Seitenverhältnis der Decke l / b abhängig.

\begin{equation} \label{eq:eqn_f1plate} {f_{1,plate}} = {f_{1,beam}} \cdot \sqrt {1 + {{2 \cdot D_{xy}^*} \over {{{\left( {EI} \right)}_{l,ef}}}} \cdot {{{l^2}} \over {{b^2}}} + {{{{\left( {EI} \right)}_{b,ef}}} \over {{{\left( {EI} \right)}_{l,ef}}}} \cdot {{{l^4}} \over {{b^4}}}} {\text{ }}\left[ {Hz} \right] \end{equation}

Die berechnete Eigenfrequenz muss über einer Grenzfrequenz fcrit liegen. Die Grenzwerte sind der Tab. 2 zu entnehmen.

Tab. 2: Grenzfrequenz fcrit für hohe und normale Anforderungen
Verwendete Methode Hohe Anforderung Normale Anforderung
EN 1995-1-1 8 Hz
Hamm / Richter 8 Hz 6 Hz
Hamm / Richter modifiziert 8 Hz 6 Hz

Bei der Überprüfung des Steifigkeitskriteriums ist die größte vertikale Durchbiegung infolge einer vertikal, an ungünstigster Stelle wirkenden, statischen Einzellast F = 1 kN unter Berücksichtigung der Lastverteilung zu ermitteln und einem Grenzwert gegenüberzustellen.

Bei der Berechnung der Durchbiegung sollte wieder die Schubnachgiebigkeit mitberücksichtigt werden. Für einen Einfeldträger kann die Durchbiegung w(F,bF) nach Glg. \eqref{eq:eqn_wf_bf} berechnet werden. Dabei wird die Lastverteilung über die mitwirkende Breite bF nach Glg. \eqref{eq:eqn_bf} berücksichtigt.

\begin{equation} \label{eq:eqn_wf_bf} w(F,{b_F}) = {{F \cdot {l^3}} \over {48 \cdot {{\left( {EI} \right)}_{l,ef}} \cdot {b_F}}} + {{F \cdot l} \over {4 \cdot {{\left( {GA} \right)}_{ef}} \cdot {b_F}}} \end{equation}

\begin{equation} \label{eq:eqn_bf} {b_F} = {l \over {1.1}} \cdot \root 4 \of {{{{{\left( {EI} \right)}_{b,ef}}} \over {{{\left( {EI} \right)}_{l,ef}}}}} \end{equation}

Tab. 3: Grenzwerte des Steifigkeitskriteriums wcrit für hohe und normale Anforderungen
Verwendete Methode Hohe Anforderung Normale Anforderung
EN 1995-1-11) 1 mm 2 mm
Hamm / Richter 0,25 mm 0,5 mm
Hamm / Richter modifiziert

Liegt die erste Eigenfrequenz unterhalb der zuvor angegebenen Grenzfrequenz fcrit, jedoch über einer Mindestfrequenz fmin = 4,5 Hz, muss zusätzlich noch die Schwingbeschleunigung überprüft werden. Sie muss unterhalb der kritischen Schwingbeschleunigung acrit liegen. Die Grenzwerte der Schwingbeschleunigung acrit sind Tab. 6 zu entnehmen.

Die Schwingbeschleunigung berechnet sich nach Glg. \eqref{eq:eqn_a} und ist abhängig von der mitschwingenden (modalen) Masse Mgen der Decke, der Anregungsfrequenz ff, der Eigenfrequenz f1, den Fourier-Koeffizienten αi,f1 der jeweiligen harmonischen Teilschwingung, der Eigengewichtskraft der anregenden Person F0 = 700 N sowie vom modalen Dämpfungsfaktor ζ.

\begin{equation} \label{eq:eqn_a} a = {{0,4 \cdot \left( {{{{F_0} \cdot {\alpha _{i,{f_1}}}} \over {{M_{gen}}}}} \right)} \over {\sqrt {{{\left( {{{\left( {{{{f_1}} \over {{f_f}}}} \right)}^2} - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 \cdot \zeta \cdot {{{f_1}} \over {{f_f}}}} \right)}^2}} }}{\text{ }}\left[ {m/{s^2}} \right] \end{equation}

Für die Berechnung der modalen Masse Mgen sind in der Literatur unterschiedliche Angaben zu finden. Um den Einfluss der orthotropen Materialeigenschaften zu berücksichtigen, wird Glg. \eqref{eq:eqn_mgen} mit bF nach Glg. \eqref{eq:eqn_bf} vorgeschlagen, jedoch besteht diesbezüglich noch Forschungsbedarf.

\begin{equation} \label{eq:eqn_mgen} {M_{gen}} = M \cdot {l \over 2} \cdot {b_{F}}{\text{ }}\left[ {kg/{m^2}} \right] \end{equation}

Hinweis: $b_F \leq b/2$ (halbe Raumbreite)

Ebenso gibt es in der Literatur unterschiedliche Angaben zu den heranzuziehenden Fourier-Koeffizienten und Erregerfrequenzen. In Tab. 4 sind die Werte nach [6] angegeben.

Tab. 4: Fourier-Koeffizienten und Erregerfrequenzen nach [6]
Eigenfrequenz f1 [Hz] Fourier-Koeffizient αi,f1 Erregerfrequenz ff [Hz]
4,5 < f1 ≤ 5,1 0,20 f1
5,1 < f1 ≤ 6,9 0,06 f1
6,9 < f1 ≤ 8,0 0,06 6,9

Der Dämpfungsfaktor ζ liegt für Brettsperrholz zwischen 2,5 % und 3,5 % abhängig von der Art des Fußbodenaufbaus und der Lagerung (siehe [7]).

Tab. 5: Richtwerte für den Dämpfungsfaktor ζ in Abhängigkeit der Art des Fußbodenaufbaus
Art des Fußbodenaufbaus Dämpfungsfaktor ζ
2-seitige Lagerung 4-seitige Lagerung
BSP-Decken ohne bzw. mit leichtem Aufbau 2,5 % 2,0 %
BSP-Decken mit schwerem Aufbau 3,5 % 2,5 %
Tab. 6: Grenzwerte der Schwingbeschleunigung acrit für hohe und normale Anforderungen
Verwendete Methode Hohe Anforderung Normale Anforderung
EN 1995-1-1 0,05 m/s2 0,10 m/s2
Hamm / Richter
Hamm / Richter modifiziert
1)
EN 1995-1-1 sieht eigentlich variable Grenzwerte für das Steifigkeitskriterium vor, jedoch wird empfohlen, die hier angegebenen Grenzwerte einzuhalten