Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- clt:design:plate_loaded_out_of_plane:vibration:example:continuousbeam [2015/05/13 14:34]
Alexandra Thiel [Frequenzkriterium]
+++ — (aktuell)
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-====== Schwingungsnachweis am Durchlaufträger nach ÖNORM B 1995-1-1:2014 ======
-In diesem Beispiel wird eine dreifeldrige Wohnungsdecke mit schwerem Aufbau schwingungstechnisch nachgewiesen.
-  * **Spannweiten:** 4,7 m; 2,5 m; 4,7 m
-  * **Querschnitt:** 5s á 30 mm
-  * **Material:** GL24h*
-  * **Eigengewicht der BSP-Platte:** g<sub>1,k</sub> = 0,825 kN/m²
-  * **ständige Lasten:** g<sub>2,k</sub> = 2,0 kN/m²
-  * **Nutzlast der Kategorie A:** q<sub>k</sub> = 3,0 kN/m²
-**Querschnitt**
-{{ :clt:design:vibration:example:continuousbeam:querschnitt_5s_150.png?400 |Querschnitt}}
-**System**
-{{ :clt:design:vibration:example:continuousbeam:durchlauftraeger.png?600 |System}}
-**Annahmen für die Schwingungsberechnung:**
-  * Deckenklassse I nach ÖNORM B 1995-1-1:2014 Tabelle NA.7.2-E1
-  * Dämpfungsfaktor: ζ = 4,0% nach ÖNORM B 1995-1-1:2014 Tabelle NA.7.2-E5
-  * Breite des Deckenfeldes: b<sub>D</sub> = 5,0 m
-  * Betonestrich (E = 25.000 N/mm²); Dicke: 50 mm
-===== Plattenkennwerte =====
-Materialparameter für GL24h*:
-  * E<sub>0</sub> = 11.600 N/mm²
-  * E<sub>90</sub> = 0 N/mm²
-  * G = 720 N/mm²
-  * G<sub>r</sub> = 72 N/mm²
-==== Biegesteifigkeit ====
-**Biegesteifigkeit der BSP-Platte in Deckenspannrichtung:**
-${K_{clt}} = \sum {\left( {{I_i} \cdot {E_i}} \right)}  + \sum {\left( {{A_i} \cdot {e_i}^2 \cdot {E_i}} \right)}$
-${K_{clt}} = 11.600 \cdot {10^6} \cdot \left( {3 \cdot {{{{0,03}^3} \cdot 1,0} \over {12}} + 0,03 \cdot 1,0 \cdot {{0,06}^2} + 0,03 \cdot 1,0 \cdot {{( - 0,06)}^2}} \right) = 2,58 \cdot {10^6}{\text{ Nm}}^2{\text{/m}}$
-**Biegesteifigkeit der BSP-Platte rechtwinkelig zur Deckenspannrichtung:**
-${K_{clt,90}} = \sum {\left( {{I_i} \cdot {E_i}} \right)}  + \sum {\left( {{A_i} \cdot {e_i}^2 \cdot {E_i}} \right)}$
-${K_{clt,90}} = 11.600 \cdot {10^6} \cdot \left( {2 \cdot {{{{0,03}^3} \cdot 1,0} \over {12}} + 0,03 \cdot 1,0 \cdot {{0,03}^2} + 0,03 \cdot 1,0 \cdot {{( - 0,03)}^2}} \right) = 6,79 \cdot {10^5}{\text{ Nm}}^2{\text{/m}}$
-<WRAP center round tip 100%>
-**Auszug aus ÖNORM B 1995-1-1:2014:**\\
-Die Biegesteifigkeit von Estrichen darf, im Allgemeinen ohne Angabe der Verbundwirkung, in der Berechnung berücksichtigt werden, wenn diese den geltenden Normen hinsichtlich Eigenschaften und Anforderungen sowie der Herstellung von Estrichen (gemäß ÖNORM EN 13813 und ÖNORM B 2232) entsprechen.
-</WRAP>
-**Effektive Biegesteifigkeit in Deckenspannrichtung inkl. Eigenbiegesteifigkeit des Estrichs:**
-$(EI)_{l,ef} = K_{clt}+(EI)_{Estrich}$
-$(EI)_{l,ef} =2,58 \cdot {10^6} + 2,50 \cdot {10^{10}} \cdot {{1,0 \cdot {{0,05}^3}} \over {12}} = 2,58 \cdot {10^6} + 2,60 \cdot {10^5}= 2,84 \cdot {10^6}\text{ Nm}^2/\text{m}$
-**Effektive Biegesteifigkeit der Decke rechtwinkelig zur Deckenspannrichtung inkl. Eigenbiegesteifigkeit des Estrichs:**
-$(EI)_{b,ef} = K_{clt,90}+(EI)_{Estrich}$
-$(EI)_{b,ef} =6,79 \cdot {10^5} + 2,50 \cdot {10^{10}} \cdot {{1,0 \cdot {{0,05}^3}} \over {12}} = 6,79 \cdot {10^5} + 2,60 \cdot {10^5}= 9,39 \cdot {10^5}\text{ Nm}^2/\text{m}$
-==== Schubsteifigkeit ====
-**Schubkorrekturfaktor für einen 5-schichtigen Aufbau mit konstanten Schichtdicken nach [[http://lampx.tugraz.at/~hbht/dokuwiki/doku.php?id=clt:design:plate_loaded_out_of_plane&#mjx-eqn-eqeqn_6|Glg. (6)]]:**
-$\kappa={\kappa _\text{5s}} = {5 \over 6} \cdot {1 \over {{1 \over {{{99}^2}}} \cdot \left( {3 + 2 \cdot {{{G_{90}}} \over {{G_0}}}} \right) \cdot \left( {960 \cdot {{{G_0}} \over {{G_{90}}}} + 883} \right)}}={5 \over 6} \cdot {1 \over {{1 \over {{{99}^2}}} \cdot \left( {3 + 2 \cdot {{{72}} \over {{720}}}} \right) \cdot \left( {960 \cdot {{{720}} \over {{72}}} + 883} \right)}}=0,244$
-<WRAP center round tip 100%>
-Liegt keine konstante Schichtdicke vor, so ist der Schubkorrekturfaktor aus [[http://lampx.tugraz.at/~hbht/dokuwiki/doku.php?id=clt:design:plate_loaded_out_of_plane&#mjx-eqn-eqeqn_4|Glg. (4)]] oder mittels einer FE-Rechnung zu ermitteln. Eine weitere Möglichkeit besteht in der Anwendung von [(ref:sw_cltdesigner_version_3_6)].
-</WRAP>
-**Effektive Schubsteifigkeit:**
-${\left( {GA} \right)_{ef}} = \kappa  \cdot \sum {\left( {{G_i} \cdot {A_i}} \right)}  = 0,244 \cdot \left( {3 \cdot 720 \cdot 1000 \cdot 30 + 2 \cdot 72 \cdot 1000 \cdot 30 } \right) = 1,68 \cdot {10^7}{\text{ N}}$
-===== Nachweisführung =====
-==== Frequenzkriterium ====
-**Beiwert $k_{e,2}$ zur näherungsweisen Ermittlung der Eigenfrequenz von Durchlaufträgern:**
-Aus Tabelle NA.7.2-E3 folgt mittels linearer Interpolation für $l_2/l = 2,5/4,7 = 0,53$ ein Beiwert $k_{e,2} = 1,2709$.
-<WRAP center round important 100%>
-Die in der Norm angegebenen Werte in Tabelle NA.7.2-E3 gelten streng genommen nur für Zweifeldträger. Hier liegt ein Dreifeldträger mit symmetrischen Spannweiten vor. Für diesen Fall sind Tabellenwerte in Petersen [(:ref:petersen_1996)] auf S. 500 zu finden. Für andere Systeme sind genauere Berechnungsmethoden, wie z.B. FEM oder die MORLEIGH-Formel (siehe [(:ref:petersen_1996)] S. 214) zu verwenden.
-</WRAP>
-**Eigenfrequenz $f_1$ bei 2-seitiger Lagerung (ohne Querverteilungswirkung):**
-${f_1} = k_{e,2} \cdot {\pi  \over {2 \cdot {L^2}}} \cdot \sqrt {{{{{\left( {EI} \right)}_{l,ef}}} \over m}}= 1,2709 \cdot {\pi  \over {2 \cdot {{4,7}^2}}} \cdot \sqrt {{{2,84 \cdot {{10}^6}} \over {(825 + 2000)/9,81}}} = 8,98\text{ Hz} > {f_{gr,I}} = 8,00\text{ Hz}$
-<wrap center round box 100%>
-Wird die Durchlaufträgerwirkung mittels genauerer Berechnungsmethode (z.B. FEM oder MORLEIGH-Formel (siehe [(:ref:petersen_1996)] S. 214)) berücksichtigt, ergibt sich eine Eigenfrequenz von $f_1=8,63\text{ Hz}$ (mit [(ref:sw_cltdesigner_version_3_6)] ermittelt).
-</wrap>
-<wrap center round box 100%>
-Wenn zusätzlich noch die Schubverformung berücksichtigt wird, ergibt sich eine Eigenfrequenz von $f_1=8,19\text{ Hz}$ (mit [(ref:sw_cltdesigner_version_3_6)] ermittelt).
-</wrap>
-**Eigenfrequenz $f_1$ bei 4-seitiger Lagerung (mit Querverteilungswirkung):**
-${f_1} =  k_{e,2} \cdot {\pi  \over {2 \cdot {L^2}}} \cdot \sqrt {{{{{\left( {EI} \right)}_{l,ef}}} \over m}}  \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{L_{min} \over {{b_D}}}} \right)}^4} \cdot {{{{\left( {EI} \right)}_{b,ef}}} \over {{{\left( {EI} \right)}_{l,ef}}}}}$
-${f_1} =  k_{e,2} \cdot {\pi  \over {2 \cdot {{4,7}^2}}} \cdot \sqrt {{{2,84 \cdot {{10}^6}} \over {(825 + 2000)/9,81}}}  \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{{2,5} \over {5,0}}} \right)}^4} \cdot {{9,39 \cdot {{10}^5}} \over {2,84 \cdot {{10}^6}}}}  = 8,98 \cdot 1,01  = 9,07\text{ Hz} > {f_{gr,I}} = 8,00\text{ Hz}$
-<wrap center round box 100%>
-Wird die Durchlaufträgerwirkung mittels genauerer Berechnungsmethode (z.B. FEM oder MORLEIGH-Formel (siehe [(:ref:petersen_1996)] S. 214)) berücksichtigt, ergibt sich eine Eigenfrequenz von $f_1=8,72\text{ Hz}$ (mit [(ref:sw_cltdesigner_version_3_6)] ermittelt).
-</wrap>
-<wrap center round box 100%>
-Wenn zusätzlich noch die Schubverformung berücksichtigt wird, ergibt sich eine Eigenfrequenz von $f_1=8,27\text{ Hz}$ (mit [(ref:sw_cltdesigner_version_3_6)] ermittelt).
-</wrap>
-==== Steifigkeitskriterium ====
-<WRAP center round tip 100%>
-**Auszug aus ÖNORM B 1995-1-1:2014:**\\
-Der Nachweis des Steifigkeitskriteriums kann bei durchlaufenden Deckensystemen vereinfacht mit der größten Feldweite am gelenkig gelagerten (Ersatz-)Einfeldträger geführt werden.
-</WRAP>
-**Mitwirkende Breite $b_F$ nach Glg. (NA.7.2-E3):**
-${b_F} = {L \over {1,1}} \cdot \root 4 \of {{{{{\left( {EI} \right)}_{b,ef}}} \over {{{\left( {EI} \right)}_{l,ef}}}}}  = {{4,7} \over {1,1}} \cdot \root 4 \of {{{9,39 \cdot {{10}^5}} \over {2,84 \cdot {{10}^6}}}}  = 3,24{\text{ m}}$
-**Durchbiegung infolge einer vertikal wirkenden statischen Einzellast $F = 1\text{ kN}$ ohne Anteil der Schubverformung:**
-$w(1\text{kN}) = {{F \cdot {L^3}} \over {48 \cdot {{\left( {EI} \right)}_{l,ef}} \cdot {b_F}}} = {{1,0 \cdot {{10}^3} \cdot {{4,7}^3}} \over {48 \cdot 2,84 \cdot {{10}^6} \cdot 2,96}} =2,35 \cdot {10^{ - 4}}\text{ m} = 0,24\text{ mm} < {w_{gr,I}} = 0,25\text{ mm}$
-<wrap center round box 100%>
-Wird die Durchlaufwirkung beim Steifigkeitskriterium berücksichtigt, ergibt sich eine Durchbiegung von $w(1\text{kN}) = 0,15 \text{ mm}$ (mit [(ref:sw_cltdesigner_version_3_6)] ermittelt).
-</wrap>
-**Durchbiegung infolge einer vertikal wirkenden statischen Einzellast $F = 1\text{ kN}$ inkl. Anteil der Schubverformung:**
-$w(1\text{kN}) = {{F \cdot {L^3}} \over {48 \cdot {{\left( {EI} \right)}_{l,ef}} \cdot {b_F}}} + {{F \cdot L} \over {4 \cdot {{\left( {GA} \right)}_{ef}} \cdot {b_F}}} = {{1,0 \cdot {{10}^3} \cdot {{4,7}^3}} \over {48 \cdot 2,84 \cdot {{10}^6} \cdot 2,96}} + {{1,0 \cdot {{10}^3} \cdot 4,7} \over {4 \cdot 1,68 \cdot {{10}^7} \cdot 2,96}} = 2,56 \cdot {10^{ - 4}}\text{ m} = 0,26\text{ mm} > {w_{gr,I}} = 0,25\text{ mm}$
-<wrap center round box 100%>
-Wird die Durchlaufwirkung berücksichtigt, ergibt sich eine Durchbiegung von $w(1\text{kN}) = 0,17 \text{ mm}$ (mit [(ref:sw_cltdesigner_version_3_6)] ermittelt).
-</wrap>
-==== Schwingbeschleunigung ====
-Da die erste Eigenfrequenz größer als der Grenzwert des Frequenzkriteriums ($f_{gr,I}=8,00\text{ Hz}$) ist, ist kein Nachweis der Schwingbeschleunigung erforderlich.
-===== Zusammenfassung der Ergebnisse =====
-==== 2-seitige Lagerung ohne Berücksichtigung der Schubverformung ====
-|Frequenzkriterium  |  $f_1=8,98 \text{ Hz} > f_{gr,I}=8,00 \text{ Hz}$  |  <fc #008000>✔</fc>  |
-|Steifigkeitskriterium am (Ersatz-)Einfeldträger  |  $w(1kN)=0,24 \text{ mm} < w_{gr,I}=0,25 \text{ mm}$  |  <fc #008000>✔</fc>  |
-|Steifigkeitskriterium am Durchlaufträger  |  $w(1kN)=0,15 \text{ mm} < w_{gr,I}=0,25 \text{ mm}$  |  <fc #008000>✔</fc>  |
-|Schwingbeschleunigung  |  -  |  nicht erforderlich  |
-|  **<fc #008000>Nachweis erfüllt</fc>**  |||
-==== 2-seitige Lagerung unter Berücksichtigung der Schubverformung ====
-|Frequenzkriterium  |  $f_1=8,19 \text{ Hz} > f_{gr,I}=8,00 \text{ Hz}$  |  <fc #008000>✔</fc>  |
-|Steifigkeitskriterium am (Ersatz-)Einfeldträger  |  $w(1kN)=0,26 \text{ mm} > w_{gr,I}=0,25 \text{ mm}$  |  <fc #ff0000>✘</fc>  |
-|Steifigkeitskriterium am Durchlaufträger  |  $w(1kN)=0,17 \text{ mm} < w_{gr,I}=0,25 \text{ mm}$  |  <fc #008000>✔</fc>  |
-|Schwingbeschleunigung  |  -  |  nicht erforderlich  |
-|  **<fc #ffa500>Nachweis nur erfüllt, wenn Durchlaufwirkung berücksichtigt wird.</fc>**  |||
-==== 4-seitige Lagerung ohne Berücksichtigung der Schubverformung ====
-|Frequenzkriterium  |  $f_1=9,07 \text{ Hz} > f_{gr,I}=8,00 \text{ Hz}$  |  <fc #008000>✔</fc>  |
-|Steifigkeitskriterium am (Ersatz-)Einfeldträger  |  $w(1kN)=0,24 \text{ mm} < w_{gr,I}=0,25 \text{ mm}$  |  <fc #008000>✔</fc>  |
-|Steifigkeitskriterium am Durchlaufträger  |  $w(1kN)=0,15 \text{ mm} < w_{gr,I}=0,25 \text{ mm}$  |  <fc #008000>✔</fc>  |
-|Schwingbeschleunigung  |  -  |  nicht erforderlich  |
-|  **<fc #008000>Nachweis erfüllt</fc>**  |||
-==== 4-seitige Lagerung unter Berücksichtigung der Schubverformung ====
-|Frequenzkriterium  |  $f_1=8,27 \text{ Hz} > f_{gr,I}=8,00 \text{ Hz}$  |  <fc #008000>✔</fc>  |
-|Steifigkeitskriterium am (Ersatz-)Einfeldträger  |  $w(1kN)=0,26 \text{ mm} > w_{gr,I}=0,25 \text{ mm}$  |  <fc #ff0000>✘</fc>  |
-|Steifigkeitskriterium am Durchlaufträger  |  $w(1kN)=0,17 \text{ mm} < w_{gr,I}=0,25 \text{ mm}$  |  <fc #008000>✔</fc>  |
-|Schwingbeschleunigung  |  -  |  nicht erforderlich  |
-|  **<fc #ffa500>Nachweis nur erfüllt, wenn Durchlaufwirkung berücksichtigt wird.</fc>**  |||
-===== Referenzen =====
-~~DISCUSSION~~